и великих пропорційні.
Залежність щільності енергії на осі пучка від поздовжньої координати z визначається предекспоненціальний множником в (9). Легко бачити, що ця щільність в центральній частині пучка () приблизно постійна, в периферійних же частинах при вона обернено пропорційна.
Розглянемо тепер фазовий розподіл в гауссовий пучку, т. е. знайдемо фазу в різних точках, займаних полем гауссова пучка. Фаза як функція г і z визначається частиною показника експоненти в (6), укладеної в круглі дужки, перед якими стоїть уявна одиниця р З цього виразу видно, що фаза квадратичним чином залежить від відстані г до осі z і досить складним чином від z. Однак ці відомості не надто наочні. Більш цікавий інший підхід, при якому відшукуються умови сталості фази. Прирівнявши константі вираз в круглих дужках в (6), приходимо до рівняння, що зв'язує z і r, т. Е. Визначає деяку поверхню в області, займаної пучком. Така поверхня називається поверхнею постійної фази або хвильовим фронтом.
Уявлення про хвильовому фронті відіграє важливу роль як в теорії хвиль взагалі, так і в теорії лазерних резонаторів - в цьому ми переконаємося пізніше.
Уявімо рівняння хвильового фронту у вигляді
(12)
де - те значення z, при якому, т. е. координати є координатами точки перетину хвильового фронту з віссю z. Надаючи ті чи інші значення, будемо отримувати різні хвильові фронти даного гауссова пучка. Праву частину в (12) можна представити у вигляді
Так як кут завжди менше свого тангенса, то від'ємник в цьому виразі менше, ніж
Але це останній вираз значно меньше, ніж, так як (при см, см). Отже, другим доданком в (28) завжди можна знехтувати.
Тепер з рівняння (12) видно, що різниця за модулем завжди менше або. Дійсно, так як множник
в лівій частині (12) завжди менше або порядку, що слід, наприклад, з рівняння гіперболи (11), то в цілому з (12) випливає, що. Вважаючи, внаслідок цього в лівій частині (12), отримаємо для хвильового фронту рівняння параболи
(13)
Таким чином, хвильовий фронт гауссова пучка має форму параболоїда обертання. З хорошою точністю можна стверджувати також, що цей фронт є сферичним, оскільки сфера радіуса
(14)
і параболоїд (13) практично збігаються при тих значеннях r, де амплітуда пучка ще помітно відмінна від нуля.
Отже, залежність радіуса кривизни хвильового фронту гауссова пучка від поздовжньої координати описується співвідношенням (14) і показана на рис. 1.2, а. Кривизна хвильового фронту - величина зворотна радіусу кривизни - дорівнює
і як функція показана на рис. 1.2, б.
Рис. 1.2. Залежність радіуса кривизни R (а) і кривизни (б) від поздовжньої координати z
Таким чином, дослідження фазового розподілу дозволяє описати зміна хвильового фронту гауссова пучка по міру його розповсюдження уздовж осі z від до. Спочатку, у міру просування по осі z від хвильовий фронт все більш викривляється увігнутою стороною у напрямку поширення хвилі. Викривленість хвильового фронту досягає максимуму при після чого фронт починає випрямлятися і стає плоским прі. Далі хвильовий фронт знову викривляється, тепер уже опуклістю в напрямку поширення хвилі. Найбільша викривленість досягається при, потім кривизна поступово зменшується (рис. 1.2, б).
Відзначимо також розташування центру кривизни хвильового фронту гауссова пучка. При він знаходиться в центрі перетяжки гауссова пучка r=0, z=0. Потім при наближенні хвильового фронту до перетяжки центр кривизни зміщується в позитивному напрямку. Коли хвильовий фронт знаходиться в точці, центр кривизни знаходиться в симетричній точці. При подальшому зміщенні хвильового фронту у бік перетяжки центр кривизни далі зміщується в позитивному напрямку і при він іде в.
Далі, при видаленні хвильового фронту в позитивну сторону від перетяжки центр кривизни приходить з і при знаходиться в симетричній точці. При центр кривизни наближається до центру перетяжки. Таким чином, при гаусів пучок являє собою сферичну хвилю з центром при і.
Відзначимо, що як величина, так і напрямок фазової швидкості залежать від поперечної координати r поля пучка. Зокрема, на каустиком фазова швидкість поля спрямована уздовж каустики і за величиною дорівнює швидкості світла у вакуумі.
Залежність фази гауссова пучка від поздовжньої координати також представляє інтерес. Нагадаємо, що в плоскій хвилі фаза в напрямку поширення ...
