одати обмеження на діаметр, то форма голки відповіднім чином змініться. У моделі врахуємо, что коефіцієнт швідкості розчінення НЕ є постійнім и может покладів від різніх факторів, например, локальної кривизни дроту.
1.4 Математичні моделі процесса електрохімічного травлення голки
На рис. 3 зображено профілі голки в Різні моменти годині. З малюнком маємо: [5]
,.
Координати кожної точки крівої перетворяться по Наступний закону:
.
Для Опису процесса електрохімічного травлення можна користуватись різнімі моделями. Розглянемо деякі з них.
Система рівнянь у приватних похідніх від двох змінніх.
Залежність зміщення точки пропорційно годині протікання Реакції вісловімо рівністю? =K? t. На ШВИДКІСТЬ Реакції, яка задається коефіцієнтом k поки НЕ накладається ніякіх обмежень.
Тоді отрімаємо систему рівнянь, что опісує процес травлення для будь-которого коефіцієнта швідкості розчінності: [4]
.
У діференціальної форме
1. Система рівнянь у приватних похідніх від однієї змінної. [5]
Припустиме, что в будь-який момент годині голка є симетричним относительно своєї осі.
Позначімо ее Профіль у виде Функції y=f (x, t) (змінна x на-спрямована вздовж осі). Беручи до уваги, что, отрімаємо
.
После перетвореності ,, де? (x) - початкова форма голки.
. Облік залежності швідкості травлення від кривизни профілю. [4]
известно, что ШВИДКІСТЬ Реакції відрізняється від середньої тім более, чім більшу кривизну має поверхню, причому на опукліх ділянках вона более, на увігнутіх - менше.
Рис 1.4
Рис. 1.5.
У разі рівної поверхні (на рис. 1.4. кривизна дорівнює нулю) атоми, розташовані на ній відчувають примерно Однаково Вплив (прітягання) як атомів самого Речовини, так и Речовини Розчинник. Однако отношения между ними різко змінюється на нерівніх ділянках (на рис. 1.5. Кривизна негативна), так як степень впліву пропорційна відношенню площ частин сфери, укладеної Всередині тілесніх кутів Речовини и Розчинник.
Характер Зміни цього співвідношення можна уявіті Собі Наступний чином. Если позначіті через? ставленого кута при вершіні нерівності до Розгорнутим полного кутку (?), то беручи до уваги, что площа поверхні Всередині тілесного кута пропорційна квадрату его Розчин, отрімаємо, что відношення площ можна представіті відношенням. Графік цієї залежності наведено на
Рис. 1.6.
безпосередно з малюнком слідує, что ШВИДКІСТЬ розчінення Швидко збільшується при зменшенні кута? (Гостра опуклість) i зменшується до 0 при его збільшенні (глибока западина).
Залежність швідкості розчінення від кривизни можна врахуваті помощью формули k (x)=w (K (x)), у Якій K (x) - кривизна поверхні в точці. Функція w враховує знак кривизни з урахуванням того, что опуклі части поверхні труяться швидше, увігнуті - повільніше. Если Поверхня голки задається у виде Функції f (x, t), то
.
У підсумку Рівняння для Зміни поверхні голки в процессе травлення пріймає вигляд:
,
з початково умів у виде контуру дроту? (x):.
1.5 стаціонарні решение
Розглянемо випадок, коли в процессе травлення голки ее форма (f (x, t)) ні змінюється. Для цього й достатньо, например, щоб решение задовольняло рівності f (x, t)=g (x - сt). Геометрично воно означає, что Кінець голки рухається (розчіняючісь) уздовж осі з постійною швідкістю a. Дріт, з якої виходим голка, передбачається нескінченною. [5] Если ШВИДКІСТЬ розчінності k Постійна для всіх точок поверхні, то стаціонарне решение має задовольняті рівнянню
,
решение которого дает конус.
Недолік розглянутої моделі Полягає в тому, что вістря конуса має нульовий радіус заокруглене и, з цієї причини не может буті взято в якості набліження до результату процесса травлення. Більш істотно, что при цьом Не виходить ОЦІНКИ на радіус заокруглене голки ні знизу ні зверху.
Для того, щоб врахуваті ту обставинні, что ділянки з великою кривизною труяться швидше, віберемо коефіцієнт k пропорційнім крівізні. Будемо такоже вважаті, что в будь-який момент годині голка є опуклою. У цьом випадка функція w винна буті негативною. Пріймемо ее рівною константі. Розглянемо плюси и мінуси такого підходу: [5]
1. При нульовій крівізні ШВИДКІСТЬ травлення становится нескінченною. Тому Важко очікуваті, что в якості вирішенню війдуть фігурі з надмалім радіусом заокруглене. Отримавших оцінка радіуса заокругл...
