План
Введення
§1. Чи можливо криве простір?
§2. Перша основна квадратична форма
§3. Друга основна квадратична форма
§4. Обчислення головних кривизн
§5. Властивості середньої кривизни
§6. Класифікація точок поверхні
§7. Мінімальні поверхні
§8. Приклади
Висновок
Список використаних джерел літератури
Введення
На арені цирку раніше виступали силачі з різними трюками: вони згинали мідні п'ятаки, зав'язували вузлом залізну кочергу і гнули на плечах смуговий залізо. Але навіть сам легендарний Геркулес встав би в тупик, якби йому запропонували зігнути не який-небудь предмет, а простір. Адже тут довелося б згинати порожнечу, а це складніше, ніж побороти велетня Антея або добути яблука з саду Гесперид. І у вирішенні цього завдання не допомогли б ніякі досягнення сучасної техніки - блюмінги, штампи та преси призначені для того, щоб деформувати предмети, а не простір.
викривленням простору, а точніше її кривизною займається диференціальна геометрія, яка з'явилася в 1687г, чия поява пов'язане з іменами Л. Ейлера і Г. Монжа. Вона являє собою важливий розділ математики, вивчає геометричні образи, в першу чергу криві і поверхні. Диференціальна геометрія виникла і розвивалася в тісному зв'язку з аналізом, який сам в значній мірі виріс із завдань геометрії.
Моя курсова робота є спробою, самостійно, більш глибоко і творчо вивчити одне з питань диференціальної геометрії, а саме, середню кривизну поверхні. Інтерес до неї в мене виникло не випадково. Вона являє собою важливий аспект у вивченні диференціальної геометрії, яка в наш час видається необхідним кожному математику.
§1. Чи можливо криве простір?
Легко уявити собі, що таке крива лінія, крива поверхню, але уявити собі криве простір дуже важко.
Звичайні заперечення проти викривленості простору такі: криву лінію неможливо поєднати з прямою, а доводиться розташовувати на площині або в просторі; точно так само і криву поверхню неможливо помістити на площині - щоб вмістити її, потрібно принаймні тривимірний простір. Отже, і викривлене тривимірний простір має лежати в якомусь осяжний його просторі чотирьох, а то й п'яти вимірювань. А так як ніхто чотиривимірного простору не спостерігав, той простір, в якому ми живемо, ніяк не може бути викривленим. Деякі філософи додавали до цих міркувань всякі страшні слова про ідеалізмі, Фідеїзм і т.д. Зате авторам науково-фантастичних оповідань ідея чотиривимірному простору дуже сподобалася. У багатьох оповіданнях і повістях Уеллса відбуваються подорожі в четвертому вимірі.
Насправді, викривленість простору ніяк не пов'язана з четвертим виміром, а є, так би мовити, його внутрішнім тілом. І встановити викривленість можна не виходячи з цього простору, а лише проводячи вимірювання всередині нього.
Протягом багатьох тисячоліть люди думали, що Земля плоска. Однак астрономічні спостереження (за тінню Землі під час місячних затемнень, за Сонцем і зірками) призвели давньогрецьких учених до думки про кулястість Землі. Ератосфену вдалося навіть з досить великою точністю виміряти радіус Землі. Але після того як християнство стало державною релігією, досягнення язичницької науки, були забуті, і знову запанувала думка, що Земля - ??плоска. І для доказу кулястості Землі знадобилося кругосвітню подорож Магеллана.
А тепер уявіть собі якусь планету, де живуть розумні істоти, але небо закрите вічної пеленою хмар, а океанські подорожі по тим чи іншим причинам неможливі. Змогли б жителі цієї планети дізнатися, що вони живуть не на шматку площині, з усіх боків оточеному водою, а на сфері? Іншими словами, чи було необхідно подорож Магеллана для того, щоб довести кулястість Землі?
Щоб зрозуміти, як виникає ідея кривизни поверхні, простежимо за ходом розвитку геометрії на цій уявній планеті. Геометрія виникає як експериментальна наука, як теоретичне узагальнення багатовікових спостережень над властивостями простору. Оскільки небо планети вкрите хмарами, геометрам довелося вести спостереження лише на її поверхні. Виявилося, що серед усіх ліній, що з'єднують дві точки цієї поверхні, завжди найліпша (рис.1).
Рис.1
Найліпші лінії і були названі «відрізками прямих». Зрозуміло, спостерігач, який подивився б на планету з боку, сказав би, що ці лінії зовсім не прямі, а криві - це дуги великих кіл сфери. Але жителі не могли подивитися на свою планету з боку і вважали найліпші лінії, проведені на поверхні, прямими (втім, адже і ми часто говоримо «дорога пряма, як стріла», хоча насправді вона йде по дузі великого кола).
...
