ановити, для якої даху (двосхилим або чотирьохскатним) буде потрібно більше покрівельного матеріалу.
Малюнок 9
Будемо вважати, що обидва ската двосхилого даху нахилені до горизонтальної площини під кутом, скати 1 і 2 чотирьохскатного даху - під тим же кутом, а 3 і 4 - під кутом (рис. 8). При цих припущеннях і зазначених на кресленні розмірах площа двосхилого даху буде дорівнює S1 =, а чотирьохскатного - S2 =.
Для порівняння цих площ розглянемо різницю S2 - S1=bm (Тут b gt; 0, m gt; 0, 0 lt; lt; 90 ° і 0 lt; lt; 90 °. Тому при lt ; отримаємо S2 - S1 lt; 0, при=матимемо S2 - S1=0, а при gt; S2 - S1 lt; 0. Отже, якщо всі скати як двосхилим, так і чотирьохскатним дахів будуть однаково нахилені до горизонтальної площини, то покрівельного матеріалу знадобиться однаково на обидві даху. Якщо ж скати 3 і 4 чотирьохскатного даху матимуть більший кут нахилу, ніж скати 1 і 2, то для чотирьохскатного даху покрівельного матеріалу знадобиться більше, ніж для двосхилим, а при меншому куті - менше.
2. Знамениті завдання на максимум і мінімум
. 1 Завдання Кеплера
«По обидві сторони від місця найбільшого значення спадання спочатку невідчутно».- І. Кеплер.
«Коли історію життя Кеплера зіставляєш з тим, ким він став і що він зробив, радісно дивуєшся і при цьому переконуєшся, що справжній геній долає будь-які перешкоди», - писав Гете. [4, 51]
Кеплер описує подія зі свого життя, те, що трапилося восени 1613 року, в книзі «Стереометрія винних бочок». «У листопаді минулого року я ввів в свій будинок нову дружину в той час, коли Австрія, закінчивши рясний збір благородного винограду, розподіляла свої багатства. Весь берег в Лінці був завалений винними діжками, що продаються за подібною ціною. Тому до мене додому було принесено і поставлено кілька бочок, а через чотири дні прийшов продавець і проміряв підряд всі діжки, без відмінності, не звертаючи уваги на форму, без всяких міркувань і обчислень. Мідний наконечник лінійки просовувати через наливний отвір повної бочки поперек до п'яти того й іншого дерев'яного кола, які ми по - домашньому називаємо днищами, і після того, як в обох випадках ця довжина від верхньої точки до нижньої того й іншого дощатого кола виявлялася рівною, продавець оголошував кількість амфор, що вміщаються бочкою, зауваживши лише число на лінійці в тому місці, на якому закінчувалася задана довжина. Я здивувався ». Кеплеру здалося дивним, як за допомогою одного виміру можна обчислити місткість бочок різної форми. «Я, як наречений, вважав для себе гідною кандидатурою, - пише далі Кеплер, - взяти новий предмет математичних занять, і досліджувати геометричні закони такого зручного в домашньому господарстві вимірювання, і з'ясувати його заснування, якщо такі є». Для з'ясування «такого роду підстав» Кеплеру довелося закласти основи диференціального й інтегрального числення, а заодно висунути нові ідеї для вирішення завдань на максимум і мінімум. Ключове місце в книзі «Стереометрія винних бочок» займає теорема V частині другій: «З усіх циліндрів, що мають одну і ту ж діагональ, найбільшим і містким буде той, в якому відношення діаметра підстави до висоти одно».
Інакше кажучи, в цій теоремі дається рішення наступного завдання: вписати в заданий куля циліндр найбільшого обсягу. До нього природно примикає планіметричний варіант: вписати в заданий коло прямокутник найбільшої площі.
Малюнок 10
Першу з сформульованих завдань ми називаємо далі завданням Кеплера, другу - планіметричний завданням Кеплера. Спочатку вирішимо завдання Кеплера методом, яким вирішив би її Тарталья. Нехай куля має радіус R. Половину висоти циліндра позначимо через х. Тоді радіус г основи циліндра дорівнює і обсяг циліндра дорівнює 2 (). А у Тартальи було.
Тоді з формули попереднього оповідання отримаємо, що максимальне х =, r== R. Таким чином, відношення діаметра підстави екстремального циліндра до висоти одно.
Але Кеплер саме так і сформулював, як ми бачили, свій результат. Кеплер міг би скористатися своєю ж ідеєю про нечутливості зміни функції поблизу максимуму. Але він пройшов повз цієї можливості і дав чисто геометричне рішення. Питання про найбільш місткому циліндрі, вписаному в кулю, Кеплер зводить до вирішення наступного завдання на максимум: з усіх прямокутних паралелепіпедів з квадратними підставами, вписаних в кулю, куб має найбільший обсяг. Цей результат доведений в теоремі IV частини другої книги Кеплера.
Прямокутні паралелепіпеди з квадратними підставами Кеплер називає коротко стовпами. Можливі два випадки:
а) стовп вище куба;
б) стовп н...
