її вправо, вісь у вертикально і направимо її вгору, кут, утворений дотичною до точки кривої у (r) з
Рис.9. Зобразимо наші прискорення на кресленні
позитивним напрямом осі r, позначимо через. Тоді кут між напрямком реакції рідини і позитивним напрямом осі r дорівнює, вертикальна проекція прискорення реакції рідини дорівнює, а горизонтальна. Отримуємо:
звідки, виключаючи В, отримуємо
Залишається згадати, що - це похідна і отримати рівняння поверхні обертається рідини
8. Фокусирующее дзеркало
Нехай у нас є відбиває поверхня (в плоскій інтерпретації відображає крива), що дозволяє відобразити паралельний пучок променів в пучок, що сходиться в одну точку. Постараємося описати цю криву. Для цього нам знадобиться закон відбиття променів, який, для випадку площині, ми чудово знаємо (кут падіння дорівнює куту відбиття), але який, у разі кривій поверхні, ми не зможемо сформулювати. Для неплоского випадку закон не набагато складніше плоского: промінь, що падає в точку х поверхні, відбивається від неї так само, як і від площини, що стосується в цій точці нашої поверхні.
Запишемо задачу в математичній формі. Для цього в якості початку координат зручно взяти якраз ту точку, в яку будуть збиратися промені, за позитивний напрямок руху променів і цю вісь позначимо через х, іншу вісь позначимо через у, а функцію, що описує форму дзеркала, - через у (х). Намалюємо траєкторію променя, відбилася в точці нашої кривої, і дотичну, що проходить через цю точку. Оскільки до відбиття промінь йшов
Рис.10. Фокусирующее дзеркало
горизонтально, кут падіння променя збігається з кутом, утвореним дотичній,
Обчислимо кут відбиття. Для цього зауважимо, що у трикутнику МОА (точка А - це точка перетину дотичної з віссю абсцис) кут МО - його зовнішній кут і він дорівнює сумі двох внутрішніх, одні з яких - це кут відбиття, а інший - кутовий коефіцієнт дотичної, тобто знову ж. Оскільки кут МО - це кут повороту вектора (х, у (х)), його тангенс дорівнює відношенню, звідки отримуємо
В принципі можна було б висловити з рівнянь (16) і (17) кути і (або їх тангенси) і скористатися законом відбиття, скориставшись тим, що дорівнює, а він, у свою чергу, в силу (16) дорівнює у '(х), підставимо їх у (17) з розкритим тангенсом суми. У результаті виходить рівняння
є рівнянням фокусирующего дзеркала. Вирішення цього рівняння не гіпербола, а парабола (а - параметр).
Отримуємо параболоїд обертання (утворений обертанням цієї параболи).
9. Висить ланцюг
Завдання цю відносять до класичних задачам математики. Вона виникла ще в Стародавній Греції. Полягає вона в тому, щоб визначити довжину ланцюга, підвішеній за кінці (в античній формулюванні ця ланцюг перегороджувала вхід в місто). Ми кілька розширимо задачу і постараємося визначити форму ланцюга (при цьому довжина її буде обчислюватися за класичним формулами з аналізу).
Рис.11. Висить ланцюг
Нехай наша ланцюг описується функцією у (х), заданої на деякому відрізку [а, b]. Напишемо умови для цієї функції, при виконанні яких ланцюг буде перебувати в рівновазі. Для цього визначимо діють на неї сили. Насамперед - це сила тяжіння. На будь-яку ділянку ланцюга [х, х + х] вона діє з силою, рівною
(18)
тут - лінійна щільність цінуй (тобто маса на одиницю довжини) в точці - диференціал дуги кривої. Інтеграл, по суті, є відповідної ділянки ланцюга. Ця сила спрямована вниз.
Крім сили тяжіння, на наш ділянку діють ще якісь сили (тому ланцюг знаходиться в рівновазі). Це - сили пружною реакції ланцюга, або сили натягу. Переконатися в їх існуванні неважко. Уявіть собі, що ви «відірвали» цю ділянку ланцюга і, розтягуючи його за кінці, намагаєтеся надати йому ту ж форму, яку він мав, перебуваючи всередині ланцюга. Не треба нікого переконувати в тому, що цього можна домогтися лише, прикладаючи до кінців ділянки сили (причому значні). Це і є ті самі (мається на увазі величина і напрямок, а не походження) сили, які діють всередині висить ланцюга. Ці сили завжди спрямовані по дотичній до точки, в якій вони прикладені. Позначимо величину сили натягу, прикладеної в точці х, через T (х). Тепер ми можемо зобразити всі на кресленні і записати умови рівноваги. Якщо позначити
Рис.12. Зобразимо всі сили на кресленні
через кут, утворений дотичною в точці х з позитивним напрямом осі абсцис, то горизонтальна складова сили натягу в точці буде рівна, а в точці х - відповідно (зверніть увагу на знак мінус: у точці х сила натягу діє не вправо, а вліво). Оскільки наш ділянку ланцюга знаходиться в рівновазі, їх сума дорівнює нулю, звід...
