ки
(19)
де А - константа (параметр задачі). Вона може бути визначена, наприклад, за величиною натягу в кінцях ланцюга:.
Вертикальні складові сил натягу, що діють на наш ділянку в точках і х, відповідно, рівні і -. Сума цих сил, разом з силою тяжіння, також дорівнює нулю.
Отримуємо, з урахуванням (19), наступне рівняння:
або, враховуючи, що,
Розділивши на і спрямувавши його до нуля, одержимо рівняння висить ланцюга:
(20)
. Рівняння струни
Завдання полягає в тому, щоб описати форму струни, натягнутої горизонтально за кінці і, що знаходиться під впливом зовнішнього навантаження.
Ця задача практично ідентична попередньої, роль зовнішнього навантаження в якій грає тяжкість. Фактично, права частина (20) - це «сила», яка діє на точку х. Ми слово «сила» вживаємо в лапках тому, що це насправді не сила, а її щільність розподілу. «Справжня» сила (та, яка вимірюється, наприклад, в ньютонах) насправді діє лише на кінцеві, що мають ненульову довжину ділянки ланцюга. Якщо ж ми спробуємо знайти силу, що діє на точку, то вона виявиться рівною нулю. Вплив же на одну точку описується в термінах і дорівнює
. Якщо через F (x) позначити силу, що діє на ділянку струни лівіше х, то.
У разі висить ланцюга. Тепер уже зрозумілий загальний вид рівняння деформацій струни:
. (21)
Ми вже говорили, що це - рівняння рівноваги, яке можна
переписати у вигляді
при цьому другий доданок - це дія зовнішніх сил, а перше визначається силами пружності. Струна знаходиться в рівновазі, значить, їх сума дорівнює нулю. А якщо сума не буде дорівнювати нулю? Тоді на нашу струну діятиме сила, і ця сила, за другим законом Ньютона, викликатиме прискорення. Якщо позначити його буквою а, то ми отримаємо рівняння руху:
Щоб отримати рівняння в остаточному вигляді, нам залишається зауважити, що, оскільки струна рухається, її форма змінюється з плином часу і описується функцією не однієї, а двох змінних. При фіксованому t - це форма струни (миттєвий знімок), при фіксованому х - закон руху точки з координатою x. Те, що раніше було у" , тепер стане другою похідною функції по просторовій змінної x, а прискорення виявляється просто другої похідної за часовою змінною t. Додамо ще, що зовнішній вплив може тепер і змінюватися з часом, тобто описуватися функцією, і ми отримали рівняння коливань струни
Висновок
Диференціальні рівняння є теоретичною основою багатьох моделей, які у науці і техніці. Такі процеси відображаються у фізиці, хімії, біології і багатьох інших галузях науки. Багато задач фізики приводять до необхідності вирішення диференціальних рівнянь. Це обумовлено тим, що практично всі фізичні закони, що описують фізичні процеси є диференціальнимирівняннями, щодо деяких функцій, що характеризують ці процеси. Дані фізичні закони являють собою теоретичне узагальнення численних експериментів і описують еволюцію шуканих величин у загальному випадку, як у просторі, так і в часі. Рішення ДУ представляється важливим завданням для багатьох сфер діяльності людини, а також відіграє важливу роль у пізнанні навколишнього світу.
У багатьох випадках складання диференціального рівняння ґрунтується на так званій «лінійності процесу в малому», тобто на диференційованої функції, що виражають залежність величин. Як правило, можна вважати, що всі існуючі в тому чи іншому процесі величини протягом малого проміжку часу змінюються постійною швидкістю. Це дозволяє застосувати відомі з фізики закони, що описують рівномірно протікають явища, для складання співвідношення між значеннями, тобто величинами, які беруть участь в процесі, і їх приростами.
Получающееся рівність має лише наближений характер, оскільки величини змінюються навіть за короткий проміжок часів нерівномірно. Але якщо розділити обидві частини отриманого рівності на, то вийти точне рівність. Воно містить час t, що змінюються з плином часу фізичні величини та їх похідні, тобто є диференціальним рівнянням, що описує дане явище. Таким чином, при складанні диференціального рівняння ми робимо як би «миттєвий знімок» процесу в даний момент часу.
У курсовій роботі розглянуті різні фізичні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Описано процеси протікання даних фізичних явищ і складені відповідні диференціальні рівняння. В основі рішення фізичних задач за допомогою диференціальних рівнянь лежить спільна ідея - лінеаризації - заміни функцій на малих проміжках зміни аргументу лінійними функціями.
Список літератури
Аксененко Е.М. Застосування диференціальних рівнянь до вирішення завдань: практикум/Е.М. Аксененко, ...
