ина, звичайно ж, не зможе рухатися по даному відрізку нескінченно (попереду стінка огорожі). Тому він повинен повернути на інший відрізок (послідовність відрізків показана на кресленні). Ми цілком можемо момент повороту прийняти за початковий момент руху. Отже, нехай це буде початковий момент, але вище було сказано, що в початковий момент руху кут у вершині Людина збільшується, отже, якщо він був тупим, він стане ще більш тупим.
При кожному повороті ми маємо наступний тупокутний трикутник
В В В В
Л
br/>
Якщо як уже було сказано, кут при вершині Людина при кожному повороті збільшується, то в межі трикутник повинен скластися в відрізок.
В
А за умовою їх швидкості рівні. Природно, що перебуваючи в точності позаду людини, Лев не має жодних шансів його зловити. Єдино, що потрібно людині це правильно визначити послідовність моментів часу в які необхідно здійснювати поворот. Спробуємо зробити це. p> Суворе доказ. Позначимо через В«аВ» відстань від точки Людина до точки перетин відрізка побудованого зазначеним вище способом з колом. А через t i тимчасові точки в яких людина буде здійснювати поворот. Нехай ці моменти часу обчислюються наступним чином:
t i = (1/v) * (a/2 + a/3 + .... + a/i) = (a/v) * (1/2 + 1/3 + ..... 1/i)
Таким чином, наша теорема справедлива, якщо отриманий числовий ряд не сходиться. Покажемо, що це дійсно так. p> Нехай i = 2 k .
Тоді маємо наступне
(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ... 1/(2 k-1 +1) + .... + 1/2 k )>
(1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 +1/8 +1/8 +1/8 + ... 1/2 k + ... +1/2 k ) = k/2
Звідси випливає, що при до прагнуть до нескінченності час також прагне до нескінченності, що й потрібно було довести.
речі з цього ж випливає, що хоча лев і не може наздогнати людини, але він може наблизитися до людини як завгодно близько. Це слід з того міркування, що в момент повороту людина розвертається у бік лева. Може здатися дивним, що нескінченно велика кількість розворотів не дає можливість леву зловити людини. Пояснюється це дуже просто. Кут розвороту щоразу зменшується.
В
Висновок
У процесі виконання дослідження були розглянуті різні ігри на переслідування і були проаналізовані алгоритми пошуку шляху. У ході роботи була показана взаємозв'язок між іграми на переслідування і окружністю Аполону, що дозволяє деякі завдання ігор на переслідування вирішувати методами, що не виходять за рамки шкільної математики, хоча в основному дані ігри вирішуються методами теорії диференціальних рівнянь.
В
Список використаних джерел
1. Гервер М.Л., Про лисицю і собаку// Квант № 2, 1973, с. 39-44.
2. Гервер М.Л., Собака біжить напереріз// Квант № 3, 1973, с. 15-18. p> 3. Петросян Л.А., Переслідування на площині// Петросян Л.А., Ріхсеев Б.Б., - М.: Наука. Гол. ред. фіз.-мат. літ., 1991. - 96 с. - (Попул. лекції з мат.; Вип. 61)
