sup> 2 )) 2 = (V e
V p b/(V p 2 - V e 2 )) 2 В
Це дійсно рівняння кола і звідси ми можемо отримати вираз для радіуса.
R = V e V p b/(V p 2 - V e 2 )
З цього ж рівняння можна визначити і координати переслідувача і тікає гравця
Знання цих величин, і швидкостей дозволяє вирішити цілий ряд завдань. Наприклад наступну:
Три лисиці оточили кролика таким чином, що кролик опинився в центрі кола описаної біля рівностороннього трикутника, на вершинах якого знаходяться лисиці. Відомо також, що швидкості всіх лисиць однакові і відомо, що кролику не вдасться втекти, причому, якби його швидкість була хоча б трохи більше він би втік. Знайти відношення швидкості лисиць і швидкості кролика.
В
4. Переслідування на площині з одним переслідувачем
У даній грі існує оптимальна стратегія і для переслідувача і для тікає гравця. Оптимальною стратегією для переслідувача буде стратегія паралельного зближення, а для тікає гравця рух по прямій EA де Е початкова точка тікає гравця і А точка Аполону. p> Оптимальність стратегії для тікає очевидна, так як початкова точка переслідувача знаходиться на тій же самій прямій. Дійсно суть стратегії паралельного зближення в тому, що
А) Переслідувач змінює напрямок руху в той же самий момент коли напрям руху змінює убегающий гравець.
Б) Новий напрям вибирається таким чином, щоб переслідувач і тікає гравець зустрілися на колі Аполону.
З цих двох пунктів і слід оптимальність обраної стратегії. А тепер визначимо оптимальний час переслідування для такої гри.
Відомо, що точка зустрічі - це точка Аполону. Відомо, також що обидва гравці рухаються по прямій, отже, для визначення часу зустрічі істотно важливі не абсолютні значення швидкостей, а то наскільки швидкість переслідувача більше швидкості тікає гравця. Тому ми можемо перейти до еквівалентної задачі, в якій убегающий гравець стоїть на місці, а переслідувач рухається зі швидкістю одно V p - V e
У цій задачі переслідувач повинен пройти відстань між його початковим становищем і початковим становищем тікає. Ми вже позначали це відстань через b тоді оптимальний час переслідування буде дано наступним виразом t = b/(V p - V e ).
5 Гра з лінією життя
Згадаймо, що грою з лінією життя називається гра з кордоном яку убегающий гравець прагне досягти, а переслідувач навпаки прагне цього не допустити. Відразу з визначення випливає наступна нескладна теорема:
Теорема: У грі з лінією життя втікання неможливо тільки в тому випадку, коли лінія життя не кореспондується з окружністю Аполону. При цьому форма лінії життя несуттєва.
Теорема очевидна і в докази не потребує.
Завдання В«про щура загнаної в кутВ»
З назви вже ясно, що мова йде про гру в якій беруть участь два гравці діють усередині деякого кута. Ця гра не досліджена вичерпно. Добре відомі тільки деякі окремі випадки, наприклад переслідування в прямому куті.
Теорема. Нехай убегающий гравець знаходиться у вершині кута а переслідувач на бісектрисі
В
Позначимо швидкість тікає гравця через V e тоді, якщо швидкість переслідувача V p = Г–2 V e , то оптимальне час переслідування t = b/V e
Доказ. Очевидно, що оптимальною стратегією для тікає гравця (щури) буде втеча по катету. Ставлення катетів | Pb | і | Eb | одно Г–2. Тобто одно відношенню їх швидкостей.
Лев і людина
Нехай два гравці (лев і людина) знаходяться всередині круглої арени і їх швидкості рівні. На головне питання В«Які їх шанси?В» Є однозначну відповідь, людина за будь-яких початкових умовах зможе втекти. Спробуємо довести це твердження. br/>В
Синій гурток - це переслідувач і зелений гурток це убегающий гравець. Для початку виконаємо слабкий якісний аналіз. Проведемо через переслідувача і тікає пряму лінію і перпендикуляр до неї. Нехай убегающий гравець рухається по перпендикуляру якийсь час. Побудуємо трикутник на точках (Лев, Людина, Точка перетину відрізка по якому рухається людина з колом). Цей трикутник тупокутний і тупий кут при вершині, в якій знаходиться людина. Це випливає з того, що початкове положення Льва і Людини - Це єдине положення, коли даний кут дорівнює 90 градусів, гострим цей кут бути не може, отже, він тупий.
Отже ми з'ясували, що в момент початку руху кут при вершині людина збільшується, ми не можемо сказати наскільки, але сам факт не викликає сумніви.
Далі, люд...
