жин справедливо рівність
В
Зауважимо, що якщо множини не є опуклими, то у формулі може бути суворе нерівність. p align="justify"> Багатозначні відображення. Інтеграл Ауману
Визначення 5. Багатозначним відображенням будемо називати довільну функцію тобто функцію, аргументом якої є час а значеннями - елементи простору тобто непусті компактні безлічі з
Так як простору і метричні, то можна говорити про безперервність багатозначного відображення.
Визначення 6. Багатозначне відображення безперервно в точці якщо для будь-якого існує таке, що при всіх задовольняють умові справедливо нерівність
За визначенням відстані по Хаусдорфу це означає, що багатозначне відображення безперервно в точці якщо для будь-якого існує таке, що при всіх задовольняють умові виконуються одночасно наступні два включення
В
У разі, коли виконується лише перше включення, багатозначне відображення називається напівбезперервним зверху в точці Якщо ж виконується друге включення, то багатозначне відображення називається напівбезперервним знизу в точці Таким чином, багатозначне відображення безперервно в точці тоді і тільки тоді, коли воно напівбезперервний зверху і знизу в даній точці.
Визначення 7. Багатозначне відображення назвемо безперервним на відрізку, якщо воно безперервно в кожній точці цього відрізка. p> Теорема 1 [Благодатскіх]. Нехай безперервне багатозначне відображення. Тоді опорна функція неперервна по при кожному фіксованому значенні Навпаки, якщо функція неперервна по при кожному фіксованому значенні то багатозначне відображення безперервно. p> Слідство 11. Багатозначне відображення безперервно тоді і тільки тоді, коли опорна функція неперервна по при кожному фіксованому значенні
Визначення 8. Багатозначне відображення назвемо вимірним на відрізку якщо його опорна функція вимірна по на відрізку для кожного фіксованого вектора
Таке визначення вимірності є дуже загальним, і широкий клас відображень виміряємо у зазначеному сенсі. Зазвичай в літературі з багатозначним отображениям вимірність визначають для більш вузького класу відображень Оскільки за опорної функції можна відновити лише опуклу оболонку дане визначення вимірності накладає обмеження на поведінку лише багатозначного відображення і ніяк не відображає того, що відбувається з тією частиною безлічі яка лежить всередині Проте все наведені нижче результати справедливі для багатозначних відображень вимірних у зазначеному сенсі.
Будь-яке безперервне багатозначне відображення вимірно, оскільки його опорна функція неперервна по при кожному фіксованому і, отже, вимірна.
Визначення 9. Функція називається однозначною гілкою багатозначного відображення якщо при всіх виконується включення
Ясно, що однозначна гілка завжди існує, оскільки безліч непорожньо при всіх
Теорема 2 (теорема А.Ф.Філіппова) []. Якщо багатозначне відображення вимірно, то у нього існує вимірна однозначна гі...
