функцій
1. Опорна функція позитивно однорідна, тобто
В
для будь-якого вектора і будь-якого числа. Зокрема,. p>. Для будь-яких двох векторів опорна функція задовольняє нерівності
В
Слідство 1. Опорна функція є опуклою. p>. Нехай Тоді опорна функція суми дорівнює сумі двох опорних функцій і, тобто
В
4. Нехай - матриця розміром, а Тоді
В
де матриця, транспонована до матриці А.
. Нехай a довільне число. Тоді
В
Слідство 2. Опорна функція позитивно однорідна по першому аргументу, тобто для будь-якого числа. p>. Нехай Якщо виконується включення, то для будь-якого вектора справедливо нерівність
В
Слідство 3. Нехай Якщо точка належить множині, то для будь-якого вектора виконується нерівність
. Нехай Тоді опорні функції множин і збігаються, тобто
В
. Нехай задані безліч та її опорна функція. Тоді опукла оболонка безлічі представляється у вигляді
В
Тут і далі S - одинична сфера з центром на початку координат.
9. Нехай Якщо для будь-якого вектора виконується нерівність
В
то точка належить опуклій оболонці безлічі
Слідство 4. Нехай безліч В такому випадку точка належить множині тоді і тільки тоді, коли нерівність виконується для будь-якого вектора. p>. Нехай Якщо для будь-якого вектора виконується нерівність
В
то справедливо включення G ГЊ coF.
Слідство 5. Нехай і безліч опукло. Тоді включення справедливо тоді і тільки тоді, коли для будь-якого вектора виконується нерівність (8). p>. Нехай Якщо безлічі і рівні, то їх опорні функції збігаються. Навпаки, якщо їх опорні функції збігаються, то
Слідство 6. Безлічі рівні тоді і тільки тоді, коли їх опорні функції збігаються. Таким чином, безліч можна однозначно відновити по його опорної функції. p>. Нехай. Якщо множини і перетинаються, тобто, то для будь-якого вектора виконується нерівність
В
Навпаки, якщо виконується співвідношення для будь-якого вектора, то
Слідство 7. Два безлічі перетинаються тоді і тільки тоді, коли нерівність виконується для будь-якого вектора. p>. Опорна функція для будь-яких двох множин і будь-яких двох векторів задовольняє нерівності
В
Слідство 8. Опорна функція неперервна за сукупністю змінних в будь-якій точці і, отже, безперервна по кожній із змінних окремо. p>. Нехай Якщо точка є внутрішньою точкою множини, то для будь-якого вектора виконується нерівність
В
Навпаки, якщо співвідношення виконується для будь-якого вектора, то
Слідство 9. Точка належить нутрощі безлічі тоді і тільки тоді, коли нерівність справедливо для будь-якого вектора. p>. Нехай задані два безлічі Тоді справедливе співвідношення
В
Слідство 10. Для мно...
