лку
Нехай задані відрізок часу і деяке відображення
Визначення 10 [Aumann]. Інтегралом Ауману від багатозначного відображення на відрізку називається безліч
В
Тут в правій частині інтеграл Лебега береться по всіх однозначним гілкам відображення для яких він існує. Ясно, що є підмножиною простору
Теорема 3 (теорема А.А. Ляпунова) []. Нехай багатозначне відображення вимірно на відрізку і де суммируема на Тоді інтеграл від цього багатозначного відображення є непустою опуклим компактним безліччю в просторі тобто
Слідство 12. Нехай багатозначне відображення безперервно на відрізку Тоді
Теорема 4 [Благодатскіх]. Нехай багатозначне відображення вимірно на відрізку і де суммируема на Тоді має місце рівність
В
Слідство 4. Нехай багатозначне відображення безперервно на відрізку Тоді має місце рівність. p> За допомогою даної теореми можна досить просто знаходити інтеграли від багатозначних відображень Дійсно, для цього достатньо відповідно до формули побудувати опорну функцію проинтегрировать вже однозначну функцію по при кожному значенні а потім відновити за отриманою опорної функції непорожнє опукле компактне безліч Зауважимо, що для відновлення опуклого безлічі досить підібрати таке безліч, щоб його опорна функція збігалася з Тоді згідно слідству 6 з властивості 11 опорних функцій
3.Діфференціальние включення
.1 Рівняння в паратінгенціях і контингенции
Паратінгенціей функції в точці будемо називати безліч
В
контингенции функції в точці будемо називати безліч
В
Приклад. Нехай, тоді. p> Розглядаючи рівняння з багатозначною правою частиною, С.Заремба ввів поняття диференціального рівняння в паратінгенціях
(3.1.1.)
а А. Маршо - поняття диференціального рівняння в контингенции
(3.1.2.)
де - багатозначне відображення.
3.2 Поняття рішення ДЧ: звичайні, Обощение і R-рішення
Теореми Прімери.
Визначення Безперервна функція, називається рішенням диференціального рівняння в паратінгенціях (контингенции), якщо включення (3.1.1.) (відповідно (3.1.2.)) справедливо для всіх.
Нижче
Визначення Абсолютно безперервна функція називається звичайним рішенням диференціального включення (3), якщо
(3.2.1.)
майже всюди на відрізку
Теореми існування звичайних диференціальних включень
Диференціальне включення з початковою умовою - існує, якщо виконується одна з таких умов:
-безперервно і-непорожнє замкнута підмножина для всіх
В
) - вимірно
Для майже всіх t, для кожної точки х, має замкнутий графік і - опукло або в деякій околиці х напівбезперервний знизу
Функція - локально інтегрально обмежена, тобто для кожного обмеженого підмножини існ...
