и його елементи можна розглядати як нитки - сімейства морфізм, що роблять комутативними діаграми для будь-яких морфізм категорії .
В
Діаграма 16
Природному перетворенню можна зіставити сімейство морфізма , де пробігає всі об'єкти категорій . Для того, щоб встановити, що ці сімейства будуть нитками, перевіримо рівності
В
Тому, у разі , буде мати місце рівність , з якого випливає . Легко бачити, отримане відображення , взаємно однозначно, і зворотним для нього буде відображення, що зіставляють нитки природне перетворення . Отже, природної біекція.
Пропозиція 3. Нехай - функтор між малими категоріями, і - мала категорія. Тоді для будь-яких функторів та об'єкта значень буде копределом діаграми (над дводольним графом ), що складається з морфізм
В
Рис.1
Якщо використовувати певні вище суми копій, то це означатиме, що .
Парні функтори між кому-категоріями
Пропозиція 1. Нехай і - категорії, - функтори, - об'єкт категорії . Якщо функтор пов'язаний ліворуч до , то існують функтори , такі, що пов'язаний ліворуч до .
Доказ. Нехай - одиниця і коедініца сполучення.
Об'єктами в будуть морфізм а в - морфізм морфізм в є комутативні трикутники
В
Діаграма 17
Які позначимо через , а в - комутативні трикутники позначаються через
В
Діаграма 18
Визначимо функтори і вважаючи
В
