повна група всіх можливих поєднань подій і рішень, тобто в даному випадку: - безумовні спільні ймовірності.
Сума їх безумовних ймовірностей:
.
Далі призначається плата (ризик) для помилок кожного виду (для безпомилкових рішень плата дорівнює 0):
Визначається середній ризик:
Безумовні ймовірності помилкових поєднань можуть бути виражені через їх умовні ймовірності:
З урахуванням цього можна визначити середній ризик:
На підставі цього співвідношення визначається поріг чутливості приймального пристрою, при якому мінімальний.
Характерним для цього і більш приватного критеріїв є етап призначення плати для кожного виду помилок, який є результатом не суворого логічного обгрунтування, а вольового евристичного визначення коефіцієнта ризику на основі попереднього досвіду та інженерної інтуїції розробника .
Всі інші критерії оптимального виявлення можуть розглядатися як окремі випадки критерію мінімального середнього ризику.
. Критерій ідеального спостерігача (критерій Котельникова)
Передбачає рівність мінімальних помилок:. При цьому:, і повинні бути відомі.
В окремому випадку рівності апріорних ймовірностей наявності і відсутності сигналу, середній ризик являє собою середнєарифметичну помилку:.
Цей критерій частіше застосовується в системах передачі інформації.
. Критерій Неймана-Пірсона
Задають гранично допустиме значення ймовірності помилкової тривоги і за умови визначають поріг чутливості приймального пристрою, при якому забезпечується максимальна ймовірність правильного виявлення.
Для ілюстрацій сказаного розглянемо малюнок 3. Наведено 4 реалізації випадкового коливання: перші дві зображують шум на виході узгодженого фільтра, а дві інші - суму сигналу і шуму. При цьому встановлений деякий поріг приймального пристрою -. Шум в першу реалізації не перевищує порога. У другій реалізації, хоча сигналу і немає, проте викид шуму перевищує поріг. У третій реалізації сума сигналу і шуму перевищує поріг, у четвертій - не досягає порогу.
З розглянутих випадків у першому і третьому випадку буде прийнято правильне рішення, а в другому і четвертому - ні. Якщо взяти інший поріг, то ситуація може змінитися.
Малюнок 3
Крім перерахованих, використовуються також критерії:
мінімальної зваженої ймовірності помилки;
мінімум імовірності повної помилки, і т.д.
Звідси:
Звідси випливає, що оптимальний приймач повинен обчислювати величину:
- відношення правдоподібності
Де: і - функції правдоподібності.
Якщо порівняти з деяким порогом, то приймається рішення:
при - сигнал є;
- сигналу немає.
Всі критерії дають оптимальне рішення задачі виявлення, засноване на обчисленні відношення правдоподібності, і порівнянні його з порогом. Відрізняються критерії лише вибором порога.
Для критерію min середнього ризику:. Для критерію min зваженої ймовірності помилки. Для критерію Неймана-Пірсна задається і мінімізується значення.
Ставлення правдоподібності показує, на скільки більше ймовірність того, що прийнятий сигнал X містить в порівнянні з ймовірністю прийому сигналу X, що складається з чистого шу...
