зати, що введене нами ставлення є відношення еквівалентності. Безліч X розбивається на класи еквівалентності. Ці класи називаються орбітами.
Для кожного x з X покладемо
Так певну безліч A (x) називається стабілізатором елемента x. Неважко бачити, що стабілізатор є підгрупою групи A. Зауважимо, що всякий раз, коли елементи x і y належать одній і тій же орбіті, множини A (x) і A (y) є сполученими підгрупами групи A (тобто існує така підстановка a з A, що і, отже, | A (x) |=| A (y) |.
Теорема
Для будь-якого елементу y з орбіти Y групи A виконаються наступне співвідношення
| A |=| A (y) | · | Y |
Доказ. Розкладемо групу A в об'єднання правих класів суміжності по підгрупі A (y):
Тепер залишається тільки вказати естественноe взаємно однозначна відповідність між цими класами суміжності і елементами орбіти Y. Для кожного зіставляємо класу суміжності елемент з Y. Якщо i не дорівнює j, то y не дорівнює y, так як інакше б підстановка належала підгрупі A ( y) і, отже, підстановка була б елементом множини A (y), що суперечить співвідношенню A (y)? A (y) =?. Значить, вказане відповідність є взаємно однозначним. Для всякого об'єкта y? з Y при деякій підстановці a з A виконується рівність ay=y?. З розкладання групи A на класи суміжності випливає, що, якщо b належить A (y). Отже, і, таким чином, кожен елемент орбіти Y відповідає деякому класу суміжності. Значить, m є число елементів в орбіті Y і формула (1.7) доведена.
Тепер ми підготовлені до доказу леми, в якій дається формула, що виражає число N (A) орбіт групи A як середнє арифметичне числа нерухомих точок всіх підстановок групи A.
Лемма Бернсайда
Число N (A) орбіт групи A дається формулою
Доказ. Нехай - орбіти групи A, і для кожного хай - елемент i-й орбіти. Тоді з формули (1.7) маємо
Ми бачили, що якщо x і належать одній і тій же орбіті, то. Отже, співвідношення (1.9) можна записати так:
або, в інших позначеннях,
Тепер, змінюючи порядок підсумовування в правій частині формули (1.9) і змінюючи відповідним чином індекси підсумовування, маємо
Але є в точності. Таким чином, для завершення докази треба обидві частини розділити на | A |.
Також нам потрібно буде обмежувати дію групи A на деякий підмножина Y множини X, де Y об'єднання будь-яких орбіт групи A. Тому позначимо через A | Y безліч підстановок, діючих на Y і які утворюються за допомогою обмеження на підмножину Y відповідних підстановок группиA. Для кожної підстановки a з групи A число елементів в Y, нерухомих щодо підстановки a, позначимо через. Тепер можна сформулювати наслідок леми Бернсайда.
Обмежена форма леми Бернсайда
1.3 Теорема Пойа
Нехай A - група підстановок з безліччю об'єктів і пу?? Ть B - кінцева група підстановок з рахунковим безліччю об'єктів Y, що містить не менше двох елементів. Тоді статечна група, що позначається, має в якості множини об'єктів сукупність всіх функцій, що діють з X в Y. підстановками групи є всі впорядковані пари підстановок a з A і b з B, записувані в вигляді (a, b). Образ довільної функції f з при дії на неї підстановки (a, b) дається формулою
при всіх x з X.
