ули (6.1) на підставі принципу рівних впливів необхідно виконати умови:
В В
де ma, mb,? - Ср.кв. помилки сторін a, b і прямого кута між основою і висотою.
Для формули (6.2) на підставі принципу рівних впливів можна написати:
(6.5)
Вважаючи як і раніше mp/P = 1/1000, отримаємо:
В
і m? = 3.4 'при
m? = 2.0 'при
m? = 1.0 'при
Якщо в трикутнику вимірювати три сторони з відносною помилкою mS/S і для обчислення площі застосовувати формулу (6.3), то для рівностороннього трикутника отримаємо:
(6.6)
що при mp/P = +1/1000 дає ms/S = 1/1500.
Отже, варіант з вимірюванням трьох сторін трикутника виявляється найефективнішим, тому що в ньому не потрібно вимірювати кути.
Чотирикутник, як геометрична фігура, може бути параллелограммом, ромбом, трапецією, прямокутником, квадратом; але як ділянка місцевості його слід вважати фігурою довільної форми, так як забезпечення геометричних властивостей тієї чи іншої фігури на місцевості вимагає додаткових вимірювань.
У чотирикутнику (n = 4) потрібно виміряти п'ять елементів: три кути і дві сторони або два кути і три сторони або один кут і чотири сторони або чотири сторони і одну діагональ. Останній варіант є найбільш переважним, оскільки, по-перше, в ньому не потрібно вимірювати кути, і, по-друге, згідно з формулою:
(6.7)
відносна помилка площі приблизно дорівнює відносній помилку вимірювання сторін. У всіх інших випадках під час оцінки точності площі потрібно враховувати як помилки вимірювання сторін, так і помилки вимірювання кутів. Застосування геометричного способу на місцевості вимагає розбиття ділянки на прості геометричні фігури, що можливо лише при наявності видимості всередині ділянки (рис.6.1.) p> При визначенні площі ділянок на топографічних планах і картах боку і висоти трикутників, сторони і діагоналі чотирикутників потрібно вимірювати за допомогою поперечного масштабу.
Для визначення площі на карті або плані геометричним способом часто використовують палетку - лист прозорого паперу, на якому нанесена сітка квадратів чи паралельних ліній. Палетку з квадратами накладають на ділянку і підраховують, скільки квадратів міститься в даній ділянці; неповні квадрати вважають окремо, переводячи потім їх суму в повні квадрати. Площа ділянки обчислюють за формулою:
P = n * (a * M) 2, (6.8)
де a - довжина сторони квадрата, - знаменник масштабу карти, - кількість квадратів на ділянці.
В
Застосування палеток з паралельними лініями описано в [23].
.2 Аналітичний спосіб
За наявності прямокутних координат X і Y вершин n-кутника його площу можна обчислити за формулами аналітичної геометрії; виведемо одну з таких формул. Нехай у трикутнику ABC координати вершин дорівнюють X1, Y1 (A), X2, Y2 (B) і X3, Y3 (C) - рис.6.2. <В
З вершин трикутника опустимо перпендикуляри на осі координат і позначимо їх довжину, як показано на рис.6.2.
Площа трикутника P буде дорівнювати сумі площ двох трапецій I (aABc) і II (bBCc) за вирахуванням площі трапеції III (aACc)
P = PI + PII-PIII. (6.9)
Висловимо площа кожної трапеції через її заснування і висоту:
= 0.5 (X1 + X2) * (Y1-Y2); = 0.5 (X2 + X3) * (Y3-Y2); (6.10) = 0.5 (X3 + X1) * (Y1-Y3);
Щоб позбутися від множника 0.5, будемо обчислювати подвоєну площу трикутника. Виконаємо множення, наведемо подібні члени, винесемо загальні множники за дужки і отримаємо:
* P = X1 * (Y2-Y3) + X2 * (Y3-Y1) + X3 * (Y1-Y2)
або в загальному вигляді:
(6.11)
У цій формулі індекс "i" показує номер вершини трикутника; індекс "i" означає, що потрібно брати наступної або попередньої вершину (при обході постаті за годинниковою стрілкою).
Якщо при угруповання членів виносити за дужки Y1, то вийде формула:
(6.12)
Обчислення за обома формулами дають однаковий результат, тому на практиці можна користуватися будь-який з них.
Хоча формули (6.11) і (6.12) виведені для трикутника, неважко показати, що вони придатні для обчислення площі будь-якого n - кутника.
Оцінка точності площі. У більшості випадків ділянки на території мають форму неправильного n - кутника, причому кількість вершин багатокутника n може бути від 30 до 20 і більше. Площа таких ділянок обчислюють аналітичним способом за прямокутним координатам вершин, які, у свою чергу, визначають в результаті обробки геодезичних вимірювань. При цьому для кожної вершини багатокутника отримують координати і помилку її положення щодо вихідних пунктів, які задають систему координат на місцевості. p> Виведемо формулу для оцінки площі багатокутника по відомим внутрішнім кутках, довжинах його сторін і помилок положення mti його ...
