вершин.
На рис.6.3 зображено фрагмент багатокутника з вершинами i-1, i, i +1, i +2 і сторонами li-1, li, li +1.
Проведемо на вершинах i і i +1 окружності радіусами mti і mt (i +1) і побудуємо бісектриси кутів? i і? i +1. Потім відновимо перпендикуляри до сторони li і знайдемо проекції відрізків mti і mt (i +1) на ці перпендикуляри:
(6.13)
(6.14)
В
Побудуємо трапецію, підставами якої є відрізки mi і mi +1, а заввишки - сторона li і знайдемо площу цієї трапеції? Pi. Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку півсуми підстав на висоту, а оскільки підставами трапеції бути проекцією ср.кв. помилок, то замість півсуми потрібно взяти квадратичну полусумму підстав; таким чином,
(6.15)
Де c = Sin (?/2).
Площа трапеції, побудованої на одній стороні багатокутника, є частиною помилки площі усього багатокутника; виконавши квадратичне підсумовування площ? Pi по всіх сторонах, одержимо:
В
(6.16)
З формули (6.16) можна отримати формулу середньої квадратичної помилки площі правильного багатокутника з однаковою помилкою положення mt всіх його вершин:
mP = an * mt * L, (6.17)
де: L - периметр багатокутника, - коефіцієнт, що залежить від n - кількості вершин;
В
його значення:
Формула (6.17) є базовою і при оцінці площі неправильних n-кутників, для яких помилка площі mp виявляється лише на кілька відсотків більше, ніж для правильного n - кутника. Так, якщо площа неправильного n - кутника при тому ж периметрі в два рази менше площі правильного n-кутника, то помилка його площі збільшується лише на 20%. p align="justify"> При неоднакових помилках положення вершин багатокутника у формулі (6.17) досить замість mt поставити mt (ср).
Прикладом застосування формули (6.17) є оцінка площі ділянок, координати вершин яких отримані з топографічних планів. Наприклад, для плану масштабу 1:2000 помилку положення точок можна прийняти рівною mt = 0.50 мм * M = 1 м (за умови, що основа плану досить жорстка і її деформацією можна знехтувати). При площі ділянки 0.12 га та кількості вершин n = 4 (5 або 6) середня квадратична помилка його площі при правильній формі (периметр L = 140 м) дорівнюватиме 35 кв.м, а при неправильній формі (периметр L> 140 м) вона може досягати 40 кв.м.
Іншим прикладом застосування формули (6.17) може служити оцінка пл Ощад багатокутника, координати вершин якого отримані з полярної засічки, виконаної з одного пункту-станції.
При використанні точних приладів (електронних тахеометрів або систем GPS) частка помилок вимірювань в помилку положення точок значно менше частки помилки їх фіксації mф на місцевості. Прийнявши mti = mф, можна використовувати формулу (6.17) для будь-яких способів отримання координат вершин багатокутника. p align="justify"> Площа правильного n-кутника можна виразити через його периметр:
(6.18)
І з формули (6.17) отримати формулу відносної помилки площі:
(6.19)
(6.20)
Наприклад:
для трикутника (n = 3) mp/P = 4.24 * mt/L,
для чотирикутника (n = 4) mp/P = 4.00 * mt/L,
для п'ятикутника (n = 5) mp/P = 3.72 mt/L,
для шестикутника (n = 6) mp/P = 3.46 mt/L.
Таким чином, для наближеної оцінки площі 3-4-5-6 - кутника в аналітичному способі можна застосовувати формулу:
mp/P = 4 * mt/L; (6.21)
помилка цієї формули може досягати 15% - 20% для ділянок, форма яких помітно відрізняється від форми правильного n-кутника.
.3 Механічний спосіб
Механічний спосіб визначення площі - це вимірювання на карті або плані площі ділянки з довільними кордонами за допомогою спеціального приладу - планіметрії. Полярний планіметр має два важелі: полюсний R1 і обвідний R (рис.6.4). p align="justify"> Один кінець полюсного важеля - точка 0 - є полюсом планиметра, - на ньому кріпиться голка; інший його кінець шарнірно з'єднується з обвідним важелем у точці b. На одному важелі обвідного важеля мається рахункове колесо K, яке розташовується перпендикулярно важелю, на іншому кінці важеля знаходиться обвідна точка f. Для механічного рахунки числа обертів лічильного колеса мається рахунковий механізм. Лічильний барабан розділений на сто частин, і збоку від нього є верньєр на одну десяту поділу. Обвідне колесо і рахунковий механізм поміщаються на каретці, яку можна переміщати уздовж обвідного важеля, змінюючи тим самим його довжину R = bf. br/>В
