и переставляють такі послідовності. Наприклад, якщо, то перестановка слово сссссссз переводить в ссссзссс, слово ссззсскк переводить в сззссккс, слова сссссссс, кккккккк, зззззззз залишає незмінними і т. Д. Виписати всю таблицю значень для перестановки важко, оскільки вона складається з 38 рядків.
Для того щоб застосувати лему Бернсайда, необхідно визначити число нерухомих точок кожної перестановки з. Послідовність букв до, з, з буде нерухомою для перестановки тоді і тільки тоді, коли при розкладанні відповідної перестановки в твір циклів вершини куба, номери яких входить в один і той же цикл, пофарбовані одним кольором. Наприклад, якщо=(1, 2, 3, 4) (5, 6, 7, 8), то нерухомими відносно будуть слова, складені цілком з однієї літери, і слова, складені з двох різних букв, причому одна з них стоїть на перших чотирьох місцях у слові, а друга - з чотирьох наступних. Тому є 9 нерухомих точок перестановки на безлічі М. Вже на цьому прикладі видно, що підрахунок числа нерухомих точок перестановок з сильно спрощується, якщо відомі розкладанні у твір циклів відповідних перестановок з G. Якщо перестановка розкладена у твір k-циклів, то число її нерухомих точок одно. Тому спочатку ми опишемо розкладання в твір циклів для всіх перестановок з групи G обертань куба.
а) Навколо кожної з трьох осей, що з'єднують центри протилежних граней, є три нетотожних обертання. Їм відповідають перестановки
б) Навколо кожної з чотирьох діагоналей, т. е. осей, що з'єднують протилежні вершини куба, є по два нетривіальних обертання. Їм відповідають перестановки
в) Навколо кожної з шести осей, що з'єднують середини протилежних ребер, є одне нетривіальне обертання. Їм відповідають перестановки
Разом з тотожною отримуємо 24 перестановки. Отже, у групі G обертань куба є
перестановка типу
перестановок типу
перестановок типу
перестановок типу
Перестановка першого типу має 38 нерухомих точок, кожна з перестановок другого типу - 32, третього і четвертого типів - 34 нерухомих точок. Тому згідно Лемме Бернсайда маємо
Таким чином, число геометрично помітних способів розмальовки Першів куба в три кольори одно 333.
Завдання 2: Скільки різних намист із семи намистин можна скласти з намистин двох кольорів - червоного і синього?
Для того щоб стала зрозумілою аналогія цього завдання з попередньою, формулюємо її наступним рівносильним чином:
Скількома геометрично різними способами можна розфарбувати вершини правильного семикутника в два кольори?
Тут два способи розмальовки неотличими, якщо один з них можна отримати з іншого, застосовуючи до семикутника чи перетворення обертання, або симетрії щодо осей, т. е. перестановки з групи діедра D7. Якщо вершини семикутника пронумеровані, мається 27=128 різних варіантів їх розмальовки, оскільки кожну вершину незалежно від інших можна розфарбувати двома способами.
Знову будемо описувати розмальовки словами довжини 7, складеними з літер до (вершина пофарбована в червоний колір) і з (вершина пофарбована в синій колір). На безлічі N всіх таких слів діє група перестановок, що задаються перестановками з D7. Наприклад, якщо (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), то перестановка останню букву кожного слова переставляє в його початок, а інші літери не змінює. Для того щоб визначити число орбіт групи, на безлічі N, необхідно знайти типи перестановок з D7. Це завдання набагато простіше аналогічного питання для групи G з завдання 1. Група D7, складається з 14 перестановок множини {1, 2, 3, 4, 5, б, 7}, які розподілені по можливим типам так:
перестановка має тип
перестановок мають тип
перестановок мають тип.
Слово нерухомо щодо перестановки, тоді і тільки тоді, коли літери, які стоять на місцях з номерами з одного циклу в перестановці, збігаються. Тому тотожний на я перестановка має 27 нерухомих точок на N, перестановки другого типу - по 2, а перестановки третього типу -по 24. Застосовуючи лему Бернсайда, отримуємо
Отже, з намистин двох кольорів можна скласти 18 семи-Бусень намист.
Висновок
Метою даної курсової роботи є розгляд поняття груп, і вивчення леми Бернсайда, а також застосування даної леми для вирішення завдань про розмальовках.
Групи повсюдно використовуються в математиці lt; # justify gt; Література
Богопольський О. В. «Введення в теорію груп» 2002р.
Калужніна...
