є точкою мінімуму Пітом споживання на стаціонарній Траєкторії, а в точці? * =? одного похідна, тобто точка? * =? є точкою максимуму Пітом споживання, что ї нужно Було довести.
Цей результат отриманий в 1966 р. Є. Фелпсом.
Приклад. Дано значення параметрів A=103 и? =0,5 виробничих Функції Кобба-Дугласа. У моделі Солоу з цієї виробничої Функції нужно розрахуваті значення фондоозброєності, продуктивності праці и Пітом споживання на стаціонарній Траєкторії збалансованності сталого економічного зростання, на Якій норма Накопичення дорівнює? =0,2, коефіцієнт вібуття основних виробничих ФОНДІВ за рік становіть? =0,2, а річний темп приросту чісельності зайнятості дорівнює v=0,05. Порівняті отриманий значення Пітом споживання з оптимальним.
Рішення. На стаціонарній Траєкторії, яка відповідає нормі Накопичення? =0,2, фондоозброєність
Середня Продуктивність праці
Пітом споживання
согласно золотому правилу Накопичення, для того щоб на стаціонарній Траєкторії збалансованності сталого економічного зростання Пітом споживання Було максимальним, нужно вібрато норму Накопичення? рівною еластічності випуску по фондах? , Тобто в даного прікладі максимум Пітом споживання на стаціонарній Траєкторії досягається при? * =? =0,5. При цьом
бачим, что Оптимальний вибір норми Накопичення виробляти до суттєвого Збільшення пітомої споживання на стаціонарній Траєкторії - більш чем у півтора рази.
Будемо тепер вважаті, что норма Накопичення НЕ є константою, а змінюється в часі.
Для цього найзручніше представіті інвестиції в основні виробничі фонди у виде різниці валового продукту и валового споживання. Рівняння Капіталу в такому випадка превращается в Наступний:
Перепішемо Останнє Рівняння ВРАХОВУЮЧИ відносні показатели
Модель оптимального економічного зростання предполагает максімізацію інтегрального дисконтований (за неперервно ставкою?) Пітом споживання
при условиях
Горизонт планування T в даній задачі может буті кінцевім або нескінченнім.
У разі планування на кінцевій период в максіміваній цільової функціонал доцільно Додати доданок, Який накладає умову на мінімальну фондоозброєність до кінця ПЕРІОДУ [0, T].
Модель представляет собою задачу оптимального управління, фазової змінної в Якій Виступає фондоозброєність k (t), а керуючої змінної - Пітом споживання c (t). На управління накладається очевидне обмеження:
,
(тут - мінімально допустиме Пітом споживання).
Введемо одну зв'язану перемінну y (t), яка відповідає єдіній фазовій змінній k (t), и побудуємо гамільтоніан
Рівняння для сполученої змінної має вигляд
відмінюванні змінну Зручне представіті у виде и підставіті
Тоді
Або
Загальне решение даного Рівняння має вигляд того, очевидно, m (t) gt; 0.
Гамільтоніан
при m (t)? 1 лінійно покладів від управління c (t), тому максимум гамільтоніана по керуючій змінній c (t) может досягатіся только на кінцях відрізка. Таким чином, оптімальне управління при m (t)? 1 візначається так:
При m (t)=1 гамільтоніан
и его максимум по фазової змінної k (t) досягається при. Если покласть c (t)=f (k (t)) -? K (t), то Траєкторії, яка відповідає такому управлінню, буде стаціонарною, так як на ній
Звідсі віпліває, что на такій Траєкторії.
Таким чином, при m (t)=1 оптімальне управління візначається як c * (t)=f (k * (t)) -? k * (t).
Остаточно отрімуємо:
У випадка виробничої Функції Кобба-Дугласа
Тому Умова візначає
Правила оптимального управління економіки. Поки фондоозброєність менше k *, слід обмежіті Пітом споживання на мінімально допустимому Рівні c. Як только фондоозброєність досягнено стаціонарного значення k *, та патенти, стрибки збільшити Пітом споживання з до f (k *) -? K *. Если ж фондоозброєність более стаціонарного значення, то на споживання слід відправляті весь випуск: c *=f (k *), и коли за рахунок проїдання ФОНДІВ економіка Вийди на стаціонарну траєкто...
