ає dK=-? K (t) dt + I (t) dt або
Перепішемо це Рівняння у виде
де ми врахувалі, что F (K, L)=LF (K/L, 1), оскількі похідна функція F (K, L) є лінійно-однорідною.
Перейдемо тепер до відноснім показніків:
фондоозброєнності k (t)=K (t)/L (t);
середньої продуктивності праці x (t)=X (t)/L (t);
Пітом інвестіціям i (t)=I (t)/L (t);
середньодушове споживання c (t)=C (t)/L (t).
Знайдемо
При цьом
Тому
тобто для фондоозброєності k (t) справедливо діференціальне Рівняння
Розглянемо у якості виробничої Функції функцію Кобба-Дугласа F (K, L)=AK? L1 -? , При цьом F (k, 1)=AK ?.
Ввівші Позначення, f (k)=F (k, 1)=AK? , Одержуємо модель Солоу у відносніх Показники:
Кажуть, що економіка находится на стаціонарній Траєкторії, если відносні показатели НЕ змінюються в часі.
Оскількі x (t), i (t), и c (t) є функціямі від k (t), то для того, щоб економіка знаходиься на стаціонарній Траєкторії, необходимо и достаточно сталості в часі фондоозброєності k (t), тобто
або
Підставімо сюди f (k)=Ak? та вінесемо k? за дужки, отрімаємо умову стаціонарності Траєкторії:
З последнего Рівняння видно, что Можливі две стаціонарні Траєкторії економіки: віроджена [коли k=0, при цьом x=Ak? =0, i =? Ak? =0, та c=(1 -?) Ak? =0] и не віроджена [коли.]
З умови віпліває, что на невіродженій стаціонарної Траєкторії постійні значення відносніх показніків дорівнюють
Дослідімо, что стане, если економіка відхіліться від стаціонарної Траєкторії. Зобразімо на рис. 1 графіки функцій? K та [тут].
Розглянемо спочатку вироджених стаціонарну траєкторію (на ній k (t)=0). Если k (t) дорівнюватіме немного более нуля, то, як видно з рис. 1,, того похідна
звідки віпліває, что фондоозброєність k (t) буде зростаті.
При цьом dk/dt залішається додатного при всех k (t) (0, k?), того віроджена стаціонарна Траєкторії є нестійкою: й достатньо найменшого Обурення, и k (t) начинает зростаті убік k= k? ; При k (t)=k? похідна dk/dt становится рівною нулю, тобто k (t) kt перестає змінюватіся.
Рис. 1. Дослідження стійкості стаціонарних траєкторій економіки в моделі Солоу
Если економіка находится на невіродженій стаціонарній Траєкторії k (t)=k? , И відбулося незначна Відхилення фондоозброєності вліво від стаціонарного значення k? , То k (t) начинает зростаті до тихий пір, поки знову не повернеться до значення k?. Если ж k (t) відхіліться від k? вправо, то, як показує рис. 1,, того похідна
значити, k (t) буде спадаті до тихий пір, поки не стану рівною k?. Таким чином, чи не віроджена стаціонарна Траєкторії
є стійкою: при будь-якому відхіленні від цієї Траєкторії економіка прагнем до неї вернуться.
Дана не віроджена стаціонарна Траєкторії носити Назву Траєкторії збалансованності сталого економічного зростання: ЧИСЕЛЬНІСТЬ зайнятості на ній растет експоненціально: L0 (t)=L0evt (звічайна, при позитивному темпі приросту зайнятості v), а всі відносні показатели постійні , значити, всі абсолютні показатели зростають пропорційно чісельності зайнятості L (t).
Розглянемо тепер найпростішу задачу Управління економікою, яка опісується моделлю Солоу: Спробуємо підібраті таку норму Накопичення?, щоб Пітом споживання на стаціонарній Траєкторії збалансованності сталого економічного зростання Було максимальним.
Золоте правило Накопичення.
Щоб Пітом споживання на стаціонарної Траєкторії збалансованності економічного зростання Було максимальним, норма Накопичення? винна дорівнюваті еластічності випуску по фондах?.
Доведення.
Розглянемо Пітом споживання на стаціонарної Траєкторії c? як функцію норми Накопичення:
и поставімо задачу визначення подобной норми Накопичення? , Щоб
У точці максимуму перша похідна має дорівнюваті нулю (б або не існуваті), а друга похідна винна буті від ємною. У даного випадка маємо:
бачим, что dc? (?)/D? =0 при? =0 и при? =?. У точці? *=0 одного похідна, тобто точка? *=0 ...
