tify"> Наведемо приклад пошуку мінімуму функції однієї змінної методом золотого перетину і методом квадратичної параболи.
Приклад.
Мінімізувати функцію f (x)=x 2 + 2x на інтервалі (- 3,5). Допустима похибка=0,2.
Метод золотого перетину
Перша ітерація:
a=- 3, b=5, b-a=8;
x 1=- 3 + 0.382? 8=0.056;
x 2=5 - 0.382? 8=1.944;
f (x 1)=0.056 2 +2? 0.056=0.115;
f (x 2)=1.944 2 + 2? 1.944=7.667;
f (x 1) lt; f (x 2). Новий відрізок [- 3; 1.944].
Подальші обчислення оформимо у вигляді таблиці (Таблиця 1). Значення функції f (x), обчислені на кожному кроці, позначені зірочкою.
Таблиця 1
№ ітерацііabb-ax 1 x 2 f (x 1) f (x 2) 1-3.0005.0008.0000.0561.9440.115 * 7.667 * 2-3.0001.9444.944-1.1120.056-0.987 * 0.1153-3.0000.0563.056-1.832-1.112-0.308 * - 0.9874-1.8320.0561.888-1.112-0.664-0.987-0.887 * 5-1.832-0.6641.168-1.384-1.112-0.853 * - 0.9876-1.384-0.6640.720-1.112-0.936-0.987-0.996 * 7-1.384-0.9360.448-1.208-1.112-0.957 * - 0.9878-1.208-0.9360.272-1.112-1.032-0.987-0.999 * 9-1.112-0.9360.176
Результат:
Кількість ітерацій: 8
Кількість обчислень функції: 9
Інтервал невизначеності: (- 1,112; - 0,936), його довжина: 0,176 lt;.
Точка мінімуму: x min=- 1.024
Точка точного мінімуму: - 1.
Метод квадратичної параболи
Початкове наближення x 0=0;
Крок h=1;
Перша ітерація:
x 1=x 0 - h=0 - 1=1;
x 2=x 0=0; 3=x 0 + h=0 + 1=1; (x 1)=f (- 1)=(- 1) 2 + 2 * (- 1)=- 1; (x 2)=f (0)= 0; (x 3)=f (1)=1 2 + 2=3; 1=x 1 - x 3=- 1 - 1=- 2; 2=x 2 - x 3=0 - 1=- 1;== 1;== 4;
zm=-=- 2;
, перехід до другої ітерації
Подальші обчислення оформимо у вигляді таблиці (Таблиця 2). Значення функції f (x), обчислені на кожному кроці, позначені зірочкою.
Таблиця 2
№ ітерацііx 1 x 2 x 3 f (x 1) f (x 2) f (x 3) zm1-101-1 * 0 * 3 * - 2201-103-1 * 031-1-13-1-1 *
Результат:
Кількість ітерацій: 2
Кількість обчислень функції: 5
Точка мінімуму: x min=- 1.
Точка точного мінімуму: - 1.
З результатів обчислень видно, що мінімум заданої функції методом квадратичної параболи знайдений за менший кол-во ітерацій і з більшою точністю, ніж методом золотого перетину.
Висновок
У даній роботі були розглянуті методи розв'язання задач безумовної оптимізації з цільовою функцією однієї змінної.
За допомогою теоретичних викладок було показано, що такі методи точного оцінювання, як метод пошуку з використанням квадратичної і кубичной апроксимації і похідних істотно ефективніше методів виключення інтервалів, серед яких виділяється метод золотого перетину. Але також було показано, що метод золотого перетину володіє високою обчислювальної ефективністю і простотою реалізації.
Методи точкового оцінювання дозволяють визначити точки екстремуму за допомогою квадратичної і кубичной апроксимації цільової функції. Якщо інтервали збіжності порівнянні між собою, а цільова функція гладка і унімодального, то методи точкового оцінювання сходяться значно швидше, ніж методи виключення інтервалів.
Для оцінки ефективності методів зазвичай використовуються три характеристики:
. час, витрачений на отримання рішення;
. точність рішення;
. чутливість до змін параметра збіжності.
Таким чином, можна стверджувати:
. Якщо необхідно отримати рішення з дуже високим ступенем точності, то кращими виявляються методи на основі поліноміальної апроксимації.
. Якщо важливо домогтися надійної роботи алгоритму, то доцільно вибрати метод золотого перетину.
. Пошукові методи типу методу квадратичної апроксимації слід використовувати спільно з методом золотого перетину, коли виникають труднощі з реалізацією відповідних ітерацій на ЕОМ.
Література
1.Алгорітми обчислювальної математики: навчально-метод. посібник з курсу «Основ...
