тується, другий справний; S 2 - другий вузол ремонтується, перший справний; S 3 - обидва вузла ремонтуються.
Стрілка, напрямки, наприклад, з S 0 у S 1 , означає перехід системи в момент відмова першого вузла, з S 1 у S 0 - перехід у момент закінчення ремонту цього вузла.
На графі відсутні стрілки з S 0 у S 3 і з S 1 у S 2 . Це пояснюється тим, що виходи вузлів з ладу передбачається незалежними один від одного і, наприклад, імовірностями одночасного виходу з ладу двох вузлів (перехід з S 0 у S 3 ) або одночасного закінчення ремонтів двох вузлів (перехід з S 3 у S 0 ) можна знехтувати.
Стаціонарні випадкові процеси
Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у вузькому сенсі , якщо
F (x 1 , ..., x n ; t 1 , ..., t n ) = F (x 1 , ..., x n ; t 1 + О”, ..., t n + О”)
При довільних
n ≥ 1, x 1 , ..., x n , t 1 , ..., t n ; Δ; t 1 € T, t i + Δ € T.
Тут F (x 1 , ..., x n ; t 1 , ..., t n ) - n-мірна функція розподілу випадкового процесу Х (t).
Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у широкому сенсі , якщо
m (t) = m (t + О”), K (t, t ') = K (t + О”, t' + О”)
(t € T, t '€ T, t + Δ € T), t' + Δ € T)
Очевидно, що з стаціонарності у вузькому сенсі слід стаціонарність у широкому сенсі.
З формул:
m (t) = m (t + О”), K (t, t ') = K (t + О”, t' + О”)
(t € T, t '€ T, t + Δ € T), t' + Δ € T)
Варто, що для процесу, стаціонарного в широкому сенсі, можна записати
m (t) = m x (0) = Const;
D (t) = K (t, t) = K (0,0) = const;
K (t, t ') = K (t - T ', 0) = K (0, t' - t)
Таким чином, для процесу, стаціонарного в широкому сенсі, математичне сподівання і дисперсія не залежать від часу, а K (t, t ') представляє собою функцію виду:
K (t, t ') = k (П„) = k (-П„), П„ = t' - t.
Видно, що k (П„) - парна функція, при цьому
K (0) =  = σ 2 ; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j ) ≥ 0
Тут D - дисперсія стаціонарного процесу
Х (t), О± i (I = +1, n) - довільні числа.
Перше рівність системи
K (0) =  = σ 2 ; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j ) ≥ 0
випливає з рівняння K (t, t ') = k (П„) = k (-П„), П„ = t' - t. Перше рівність
K (0) = В = Пѓ 2 ; | k (П„) | ≤ k (0); ОЈ ОЈ О¬ i О± j k (t i - t j ) ≥ 0 - простий наслідок нерівності Шварца для перетинів X (t), X (t ') стаціонарного випадкового процесу X (t). Остання нерівність:
K (0) =  = σ 2 ; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j ) ≥ 0
Отримують наступним чином:
Σ Σ α i α j k (t i - t j ) = Σ Σ K ( t i , t j ) α i α j = Σ Σ M [(α i X i ) (α j X j )] = M [(Σ α i X < sub> i ) 2 ] ≥ 0
Враховуючи формулу кореляційної функції похідної dX (t)/dt випадкового процесу, для стаціонарної випадкової функції X (t) отримаємо
K 1 (t, t ') = M [(dX (t)/dt) * (dX (t ")/dt')] = Оґ 2 K (t, t ')/ОґtОґt' = Оґ 2 k (t '- t)/ОґtОґt'
Оскільки
Оґk (t '- t)/Оґt = (Оґk (П„)/ОґП„) * (ОґП„/ОґП„) = - Оґk (П„)/ОґП„,
Оґ 2 k (t '- t)/ОґtОґt '= - (Оґ 2 k (П„)/ОґП„ 2 ) * (ОґП„/Оґt') = - (Оґ 2 k ( П„)/ОґП„ 2 )
то K 1 (t, t ') = k 1 (П„) = - (О” 2 k (П„)/ОґП„ 2 ), П„ = T '- t. br/>
Тут K 1 (t, t ') і k 1 (П„) - кореляційна функція першій похідній стаціонарного випадкового процесу X (t).
Для n-й похідній стаціонарного випадкового процесу формула кореляційн...
