ої функції має вигляд:
K n (П„) = (-1) n * (Оґ 2 n * k ( П„)/ОґП„ 2 n )
Теорема. Стаціонарний випадковий процес X (t) з кореляційною функцією k (П„) безперервний в середньому квадратичному у крапці t € T тоді і тільки тоді, коли
Lim k (П„) = k (0)
Для доказу запишемо очевидну ланцюжок рівностей:
M [| X (t + П„)-X (T) | 2 ] = M [| X (t) | 2 ] - 2M [| X (t + П„) X (t) |] + M [X (t) 2 ] =
= 2D-2k (П„) = 2 [k (0)-k (П„)].
Звідси очевидно, що умова безперервності в середньому квадратичному процесу X (t) в точці t € T
Lim M [| X (t + П„) - X (t) | 2 ] = 0
Має місце тоді й тільки тоді, коли виконується Lim k (П„) = k (0)
Теорема. Якщо кореляційна функція k (П„) стаціонарного випадкового процесу X (t) безперервна в середньому квадратичному у крапці П„ = 0, то вона безперервна в середньому квадратичному у будь-якій точці П„ € R 1 .
Для доказу запишемо очевидні рівності:
k (П„ + О”П„)-k (П„) = M [X (t + П„ + О”П„) X (t)] - M [X (t + П„) X (t)] =
= M {X (t) [X (t + П„ + О”П„) - X (t + П„)]}
Потім, застосовуючи нерівність Шварца до співмножників у фігурній дужці й з огляду співвідношення:
K (t, t ') = k (П„) = k (-П„), П„ = t' - t.
K (0) =  = σ 2 ; | k (τ) | ≤ k (0); Σ Σ ά i α j k (t i - t j ) ≥ 0
Отримаємо:
0 ≤ [k (τ + Δτ)-k (τ)] 2 ≤ M [X (t) 2 ] M [| X (t + τ + Δτ)-X (t + τ) | 2 ] =
= 2D [D-k (О”П„)].
Переходячи до межі при О”П„ в†’ 0 і беручи до уваги умова теореми про безперервність k (П„) в точці П„ = 0, а також перша рівність системи
K (0) = В = Пѓ 2 , знайдемо
Lim k (П„ + О”П„) = k (П„)
Оскільки тут П„ - довільне число, теорему варто вважати доведеною.
ергодичний властивість стаціонарних випадкових процесів
Нехай Х (t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0, T] з характеристиками
M [X (t)] = 0, K (t, t ') = M [X (t) X (t')] = k (П„),
τ = t '- t, (t, t') € T × T.
ергодичний властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тому, що за досить тривалої реалізації процесу можна судити про його математичному очікуванні, дисперсії, кореляційної функції.
Більш строго стаціонарний випадковий процес Х (t) будемо називати ергодичним з математичного очікуванню, якщо
Lim M {| (1/T) ∫ X (t) dt | 2 } = 0
Теорема
Стаціонарний випадковий процес Х (t) з характеристиками:
M [X (t)] = 0, K (t, t ') = M [X (t) X (t')] = k (П„),
τ = t '- t, (t, t') € T × T
є ергодичним по математичному очікуванню тоді і тільки тоді, коли
Lim (2/T) ∫ k (τ) (1 - τ/t) dτ = 0.
Для доказу, очевидно, досить переконатися, що справедливо рівність
M {(1/T) ∫ X (t) dt | 2 } = (2/T) ∫ k (τ) (1 - τ/t) dτ
Запишемо очевидні співвідношення
C = M {| (1/T)) ∫ X (t) dt | 2 } = (1/T 2 ) ∫ ∫ k (t '- t) dt'dt = (1/T) ∫ dt ∫ k (t' - t) dt '. br/>
Вважаючи тут П„ = t '- t, dП„ = dt' та враховуючи умови (t '= T) в†’ (П„ = T - t),
(t '= 0) в†’ (П„ =-T), отримаємо
С = (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (П„) dП„ = (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (П„) dП„ + (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (П„) dП„ = p> = - (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (П„) dП„ - (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (П„) dП„
Вважаючи в першому і другому доданків правої частини цієї рівності відповідно П„ =-П„ ', dП„ =-dП„', П„ = T-П„ ', dП„ =-dП„', знайдемо
С = (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (П„) dП„ + (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (T - П„) dП„
Застосовуючи формулу Дирихле для подвійних інтегралів, запишемо
С = (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (П„) dП„ + (1/T 2 ) ∫ dt ∫ k (T - П„) dП„ = (1/T 2 ) ∫ (T - П„) k (П„) dП„ + (1/T 2 ) ∫ П„k (T - П„) dП„
У другому доданку правій частині можна покласти П„ '= T-П„, dП„ =-dП„', після чого будемо мати
С = (1/Т 2 ) ∫ (Т - П„) k (П„) dП„ - (1/T 2 ) ∫ (T - П„) k (П„) dП„ = 2/T ∫ (1 - (О¤/T)) k (П...
