>) =
1, якщо б (a) непарній.
Зі сказаного вище випливає, що ця функція g (парність числа фішок у білих секторах) є інваріантом. Оскільки п = 2 т, для кінцевої позиції v маємо g ( v ) = 0. Якщо т = 2 k + 1, то n /2 непарній. Значить, для початкової позиції w маємо g ( < i> w ) = 1. З того, що g ( w < b> ) відмінно від g ( < i> v ) випливає, що позиції w і < i> v не еквівалентні. Таким чином, в цьому випадку
(п = 2 т, т = 2 k + 1) з позиції w не можна перейти в позицію v . Ну, а якщо т = 2 k? Тоді n /2 четно і g ( w ) = g ( v < b> ) = 0. У цьому випадку інваріант g не дає можливості встановити еквівалентні позиції w і v або немає.
Справа в тому, що якщо f - інваріант, то з f ( a . ) = f ( p ), взагалі кажучи, нічого не випливає. Якщо f ( a ) відмінно від f ( p ) то позиції а і p НЕ еквівалентні (це випливає з (1)). Якщо ж f ( a ) = f ( p ) , то позиції а і < i> р можуть бути як еквівалентними, так і не еквівалентними: інваріанта не забороняє на різних орбітах приймати однакові значення. (Наприклад, постійна функція, тобто функція, яка на всіх елементах з М приймає одне і те ж значення, теж инвариантна.)
Як же бути? Спробуйте для якого-небудь п виду 4 k перейти від позиції w , до позиції v ... Чомусь не вдається. Спробуємо Знайти інший, більш тонкий інваріант.
Занумеруем сектори (скажімо, по годинниковою стрілкою) від 1 до n. Для довільної розстановки а . фішок по секторах позначимо через x k (а) кількість фішок у k-м секторі при розстановці a .
Розглянемо тепер таку функцію q :
q (a) = 1 x 1 (a) + 2 x 2 (a) +3 x 3 (a) +
+ ... + N x n (a). (2) <...
