/p>
Чи є функція q інваріантом?
Довільний допустиме переміщення (Рис. 5) зачіпає 4 доданків суми (2):
... + I x i (a) + (i + 1) x i + 1 (a) + ... + ( J - 1) x j - 1 (a) + j x j (a) + ... (3)
При переміщенні, зображеному
... + I [ x i ( a ) - 1] + ( i + 1) [ x i +1 ( a ) + 1] +
+ ... + ( j - 1) [ x j - 1 ( a ) + 1] + j [ x j ( a ) - 1] + ...
Легко перевіряється, що обидві суми рівні. Отже, q - інваріант! Ні,
ми забули, що n -й сектор межує з першим. Значить, є ще 3 можли-ності. Підрахунок, аналогічний тільки що зробленому, показує, що у випадку, зображеному на рис. 6, q ( a ) зменшиться на п, а в разі збільшиться на п. У третьому випадку q (а) , звичайно, не зміниться. Отже, за одне переміщення щення значення функції q може змінитися, але тільки на п. Отже, функція r , значення якої на розстановці a дорівнює залишку. від ділення числа q (A) на п, є інваріант. p> Для позиції v (якщо все п фішок зібрані в 1-м секторі)
x 1 (v) = x 2 (v) = ... = x l -1 (v) = X l + 1 (v) = ... = x n (v) = 0,
x l (v) = n.
Значить, q ( v ) = l n і r ( v ) = 0 (які б не були п і l ). З іншого боку,
x 1 ( w < b> ) = x 2 ( < i> w ) = ... = x n ( w ) = 1. Значить, q ( w ) = 1 + 2 + 3 + ... + n = ( n ( n + 1 )) /2
Якщо n = 2 m , то q < i> ( w
