(дотримуючись деякі природні обмеження). Так, для будь-якого X Є З підмножина L X = {О›X: 0 ≤ О»} називається променем , які проходять через X; для будь-яких двох точок X, Y будь-яка точка О±Х + ОІY в€€ З називається їх лінійної комбінацією , а безліч [X, Y] = {О±Х + ОІY: О±, ОІ ≥ 0, О± + ОІ = 1} називається відрізком , що з'єднує X і Y. Підмножина W ≤ С є опуклим, якщо разом з будь-якими X, Y в€€ W весь з'єднує їх відрізок лежить в W.
Передбачається, що кожен товар має ціну. Всі ціни суворо позитивні. Нехай ціна одиниці i-го товару є р i , тоді Р = (p i , ..., р n ) є вектор-рядок цін.
Для набору товарів X і вектора цін Р їх скалярний твір РХ = р 1 x 1 + ... + Р n x n є число, зване ціною набору X або його вартістю, і буде позначатися С (Х).
В
Приклад 3. Ставлення дорівнює вартості розбиває весь простір товарів на непересічні класи (для випадку двох товарів див. рис. 1). Нехай вектор цін є (2, 3), тоді клас наборів вартості 30 є відрізок АВ, а вартості 60 є відрізок MN. Стрілка показує напрямок збільшення вартості наборів. У якість цієї стрілки можна взяти вектор цін.
З буденної точки зору кожен товар повинен бути бажаний для учасників економіки і повинен володіти певною споживчої корисністю. Це властивість товарів виражається в деякій мірі через ціни на них.
Нехай вектор цін є Р. Зафіксуємо якусь грошову суму Q і назвемо її доходом. p> Безліч наборів товарів вартістю не більш Q при даних цінах Р називається бюджетним безліччю В; безліч наборів товарів вартості рівно Q називається кордоном G цього бюджетного множини. p> Бюджетне безліч і його межа залежать від цін і доходу, так що точніше їх було б позначати В (Р, Q) і G (P, Q). p> Бюджетне безліч і його кордон можна визначити так:
за допомогою звичайних нерівностей та рівностей -
В (Р, Q) = {(x 1 , ..., Х n ): х 1 ..., Х n ≥ 0, p 1 x 1 + ... + P n x n ≤ Q)
G (P, Q) = {(x 1 , ..., Х n ): х 1 ..., Х n ≥ 0, p 1 x 1 + ... + P n x n = Q);
за допомогою векторних нерівностей та рівностей -
В (Р, Q) = {Х: Х> О, РХ <0, G {P, Q) = {Х: Х> О, РХ = Q). br/>
Для випадку двох товарів див. рис. 1. p> При Р = (2, 3) і Q = 30 бюджетне безліч В (Р, Q) є трикутник ОАВ, точка A має координату Q/p 1 = 15, точка В - Q/p 2 = 30. Відрізок АВ є межа бюджетного безлічі, відрізок АВ перпендикулярний вектору цін. При збільшенні Q межа бюджетного безлічі рухається в напрямку вектора цін. При зміні цін про зміну бюджетного безлічі можна судити з руху точок А (р 1 ) = Q/p ...
