е не безперервна. Точкового спектру оператор не має.
Приклад 3: Розглянемо оператор диференціювання на безлічі диференційовних функцій. А: (для стислості будемо писати замість f (x) просто f). Розглянемо резольвенту цього оператора:, тобто ми повинні знайти зворотний оператор до оператора:, для чого треба вирішити диференціальне рівняння відносно. Вирішимо рівняння методом Бернуллі:
;
;
;;;;, звідки,
тоді. Видно, що резольвента існує і неперервна, коли існує і безперервний інтеграл.
Резольвентних безліч. Спектр p> Нехай А - оператор, який діє в В-пространстве. Якщо регулярна, тобто оператор існує і обмежений, то при досить малому оператор теж існує і обмежений, тобто точка + теж регулярна. Таким чином, регулярні точки утворюють відкрите безліч. Доведемо це.
Теорема: резольвентних безліч відкрито, функція резолвента аналитична в цій області.
Доказ:
Нехай - фіксована точка в і - будь-яке комплексне число, таке, що. Покажемо, що . Оператор повинен мати зворотний, якщо. Цей зворотний оператор, якщо він існує, буде виглядати так:
.
Розглянемо цю дріб як суму нескінченно спадної геометричної прогресії, тоді вона подана в вигляді ряду
.
Ми припускали, що, то, отже, цей ряд сходиться. Покажемо, то це резольвента:
,
звідси і випливає, що і що = аналитична в точці
Доведено.
Отже, спектр, тобто доповнення цієї множини - замкнутий безліч, і резольвента аналитична на нескінченності.
Слідство: Якщо дорівнює відстані від до спектру, то
,.
Таким чином, при та резольвентних безліч є природна область аналітичності.
Доказ:
У доказі попередньої теореми ми бачили, що якщо, то. Отже,, від куди і слід доказувана твердження.
Доведено.
Резольвента як функція від p> А зараз розглянемо резольвенту як функцію від і доведемо кілька тверджень про її властивості та особливості. Для доказу наступного твердження нам знадобиться наступна теорема.
Теорема 5: Нехай Е - Банаховий простір, I - тотожний оператор в Е, а А - такий обмежений лінійний оператор, що відображає Е в себе, що. Тоді оператор існує, обмежений і представляється у вигляді
.
Доказ:
Так як <1, то. Простір Е повно, так що з збіжності ряду випливає, що сума ряду являє собою обмежений лінійний оператор. Для будь-якого n маємо
;
переходячи до межі при і враховуючи, що, отримуємо
,
що й означає, що.
Доведено.
Теорема 7. Якщо А - обмежений лінійний оператор у банаховому просторі і>, то - регулярна крапка.
Доказ:
Так як, очевидно, що,
то
При <цей ряд сходиться (див. теорему 5), тобто оператор має обмежений зворотний. Інакше кажучи, спектр оператора А міститься в колі радіуса з центром в нулі.
Доведено.
З вище доведеної теореми випливає розкладання ре...
