зольвенти в ряд Лорана на нескінченності
При <цей ряд сходиться. Але - це найменше з чисел С, задовольняють нерівності:
АF = Cf, якщо С - власне значення, то й, то для найбільшого за модулем з власних значень нерівність буде мати місце, з іншого боку, це число буде найменшим. Отже, ряд буде сходитися при <(А), де (А) - найбільший модуль власних значень оператора А. Величина (А) називається спектральним радіусом оператора А.
Теорема 8: (А) =.
Для доказу скористаємося теоремою Коші-Адамара, сформулюємо її. Теорема Коші-Адамара: Покладемо,. Розглянемо статечної ряд. Тоді він сходиться всюди в колі і розходиться всюди поза цього кола.
Доказ:
Розглянемо розкладання резольвенти в ряд Лорана як статечної ряд:
.
За теоремою Коші-Адамара його радіус збіжності дорівнює числу
, але з іншого боку радіус збіжності ряду Лорана резольвенти є спектральний радіус.
Доведено.
Рівняння Гільберта:.
Доказ:
Візьмемо. Враховуючи, що, отримуємо наступне:
, що і потрібно було довести.
Доведено.
Слідство з рівняння Гільберта:.
Доказ:
Воно випливає з рівняння Гільберта: дійсно, візьмемо, тоді отримаємо за рівнянням Гільберта, що твір дорівнює відношенню приросту функції до приросту аргументу, тобто, перейшовши до межі при отримуємо потрібну рівність.
Доведено.
Теорема 9:.
Доказ:
Доведемо це рівність методом математичної індукції, спираючись на попереднє твердження:
якщо k = 1, то отримуємо наслідок з рівняння Гільберта
.
Нехай для k = n рівність виконано, то є.
Доведемо, що для k = n +1, воно теж має місце:
Отримали, що якщо рівність виконується для n, то воно виконується і для n +1, то по аксіомі індукції воно виконується і для всіх натуральних чисел, що й потрібно було довести.
Доведено. p> Таким чином, ми отримали, що резольвента - функція нескінченно дифференцируемая.
Теорема 10: Знаючи всі похідні резольвенти, ми можемо розкласти її в ряд Тейлора в околиці точки:
.
Нагадаємо формулу розкладання функції в ряд Тейлора:
, підставляючи в цю формулу відповідні елементи резольвенти, отримуємо потрібну рівність.
Введення в нестандартний аналіз p> Що таке нескінченно малі? p> Один з найбільш принципових моментів нестандартного аналізу полягає в тому, що нескінченно малі розглядаються не як змінні величини, а як величини постійні. Досить розкрити будь-який підручник фізики, щоб натрапити на нескінченно малі прирощення, нескінченно малі обсяги і т. п. Всі ці величини мисляться, зрозуміло, не як змінні, а просто як дуже маленькі, майже рівні нулю.
Отже, мова буде йти про нескінченно малих числах. Яке число слід називати нескінченно малим? Припустимо, що це позитивне число, якщо воно менше всіх позитивних чисел. Легко зрозуміти, що такого не буває: я...
