/B> Вирішити систему рівнянь
+ = 10
х + 4у = 26
Рішення. " Попрацюємо" з лівою частиною першого рівняння системи:
+ = 10. Нехай = (х-2; у +1), = (10-х; 5-у)
?? =,?? =. br/>
Знаходимо координати суми векторів і і її довжину + = (8;
),? +? = 10. Відповідно з векторним нерівністю +? ? +?, Рівність досягається, коли??. Значить = 3х - 4у = 10. Тепер з урахуванням другого рівняння системи маємо:
3х - 4у = 10
х + 4у = 26.
Звідси х = 6, у = 2, підставляючи ці значення в =: 1 = 1> 0.
Відповідь: ( 6;
)
2.4 Доведення нерівностей
Задача 1. Для будь-яких дійсних чисел доведіть нерівність:
? br/>
Доказ: Нехай
= (х, у, z), = (;;) В· =. ?? =,?? =?? В·?? =. br/>
На підставі нерівності? ???? ?? маємо? . Що і потрібно було довести. p> Завдання 2. Доведіть нерівність: а? 2х + b? 3У + 1? ? p> Доказ: Нехай = (а, b, 1), = (2х, 3У, 1)
В· = а? 2х + b? 3У + 1
?? =,?? =??? ?? =? br/>
У силу векторного нерівності? ???? ?? дане нерівність доведено.
Задача 3. Для будь-яких дійсних чисел а, в і з довести нерівність. br/>
а4 + b4 + с4? а2 b2 + b2 с2 + с2 а2
Доказ.
1) Область визначення дано в умові (АR, bR, Сr).
) Введемо вектори = (А2, b2, с2) і = (b2, с2, а2).
) Знаходимо їх скалярний твір у координатної формі і їх довжини
? = А2 b2 + b2 с2 + с2 а2;
?? =,?? = br/>
Висновок: на підставі векторного нерівності? ???? ?? маємо:
? = А4 + b4 + с4? а2 b2 + b2 с2 + с2 а2.Ч. т.д.
Задача 4. Доведіть нерівність:
+ +? 15 для всіх чисел а, b і з, які задовольняють умові а + b + с = 1 і для яких ліва частина нерівності має сенс. p> Доказ.
Нехай = (;;), = (1; 1;
)? = + +;?? === p>?? =. Відповідно до нерівності??????, Маємо + +? 15, так як <15.Ч. т.д.
вектор сума скалярний твір
Висновок
Застосований нами векторний метод показує, що досить велика кількість прикладів на рішення рівнянь, систем рівнянь, доказ нерівностей, особливо завдань на знаходження найбільших і найменших значень істотно спрощується в порівнянні з рішеннями, виконаними традиційним шляхом, а в деяких випадках, особливо, коли багато змінних, тільки такий підхід і призводить до успіху.
Підсумком нашого захоплення стало, те, що ми набагато краще стали розуміти роль векторів в математиці, взаємозв'язок курсу алгебри і геометрії. Погодьтеся, що три векто...
