ішення: ОДЗ: - 1? х? 3. Розглянемо вектори = (;) і (х;
). Ліва частина даного рівняння є скалярним добутком векторів і, а твір їх довжин - права частина. Відповідно з векторним нерівністю? ? ??? ?? маємо х +? 2
Причому знак рівності має місце, якщо коефіцієнти пропорційні, тобто =, звідки х3 - 3х2 + х + 1 = 0. Помічаємо, що х = 1 корінь цього рівняння. Виконавши поділ, отримаємо х 3 + 3х 2 + х + 1: (х-1) = х2 - 2х-1, тобто х3 + 3х2 + х + 1 = (х-1) (х2 - 2х - 1). Вирішуючи рівняння х2 - 2х - 1 = 0, знаходимо його коріння х = 1 В±. Але х = 1 + входить до ОДЗ рівняння х +? 2. Безпосередньою перевіркою переконуємося, що х = 1, і х = 1 + задовольняють даному рівнянню. p> Відповідь: 1; 1 +
2.3 Рішення систем рівнянь
Задача 1. Вирішити систему рівнянь
х + у = 2
х2 + у2 = 4
Рішення. ОДЗ: у? 1 і х? 1. Введемо вектори = (х, у), = (;). p> Ліва частина першого рівняння системи є скалярним добутком векторів і. Визначимо довжини цих векторів і їх твори. br/>
?? =,?? =;????? =?.
Відповідно до нерівністю? ? ??? ?? і з урахуванням другого рівняння системи маємо: х + у? 2. Знак рівності має місце, якщо
=
х2 + у2 = 4
Відповідь: ( 2;
)
Завдання 2. Вирішити систему рівнянь
х2 + 25у2 + 9z2 = 1
х - 5у + z =
Рішення: Уявімо перше рівняння системи в наступному вигляді, а друге - залишимо без змін
(2х) 2 + (5у) 2 + (3z) 2 = 1
х - 5у + z =
Тепер найважливіше питання - які координати повинні бути у наших вводяться векторів. Отже, розглянемо вектор = (2х, 5у, 3z). Але виникають складності з координатами вектора. З чого ж треба виходити - ми повинні так перемножити відповідні координати векторів і, щоб їх скалярний твір дорівнювало лівій частині другого рівняння системи. Тоді = (, - 1,). Твір довжин векторів? = 1? =. Таким чином? =??? ??, Значить вектори колінеарні, а їх координати пропорційні, тобто ==, Т.е.4х = - 5у = ​​9z, звідки у = -, z =. p> Ці значення підставляємо в друге рівняння системи
Відповідь: (; -;)
Задача 3. Вирішити систему рівнянь
х - 2у + 32 = 15
х2 + у2 + z2 = 16
Рішення: Нехай = (х, у, z), = (1, -2,3). Тоді? = Х - 2у + 3z = 15 (згідно умови);?? === 4 (за умовою). p> ==;??? ?? = 4? ? >??? ??, Що неможливо. p> Відповідь: система не має рішень.
Задача 5. Вирішити систему рівняння
х2 + 9 у4 + 4 z6 = 1
х + у2 + z3 =
Рішення. Нехай = (6х; 3у2; 2z3), = (;;). Тоді? =; br/>
?? = 1,?? =? >??? ??, Що неможливо. br/>
Відповідь: система несумісна.
Задача 4. <...
