амосогласованной системі. Дійсно, система рівнянь (26) у нульовому наближенні виглядає наступним чином:
В
В
Легко бачити, що рівняння цієї системи будуть спільними тільки за умови відсутності взаємодії між частинками wik = 0. Отже, в випадку розрідженого газу кореляціями не можна нехтувати навіть у нульовому наближенні. Власне кажучи, цього слід було очікувати, оскільки для розрідженого газу а <<1 В«хорошимВ» кінетичним рівнянням є рівняння Больцмана, яке несумісне з вимогою факторизації. Ми бачили, що виведення рівняння Больцмана по Боголюбову припускає тільки факторизацию функції F2 в В«нескінченному минуломуВ».
Розглянемо випадок ОІ = U0/T <<; 1,, що відповідає гарячого газу зі слабкою взаємодією між частинками, який, однак, може бути достатньо щільним. Фактично при типовою глибині потенційної ями U0 ~ (10-1 - 10-2) ев U0/T <<1 виконується вже при кімнатних температурах. У цьому випадку в нульовому наближенні отримуємо зачіпляється рівняння
(27)
в яких змінні х1, ..., хп розділяються. Це означає, що припущення є самоузгодженим і одночасткову функція F1 (0) (r, v, t) підпорядковується рівнянню
(28)
Інтегруючи рівняння характеристик
(29)
знаходимо, що рішення рівняння (28) має вигляд
(30)
де П€ (r, v, t) - довільна функція своїх аргументів, сумісна з початковими і граничними умовами. З виразу (30) випливає, що F1 (0) (r, v, t) залишається постійною уздовж динамічної траєкторії частинок в Ој-просторі, чого і слід було очікувати для системи слабо взаємодіючих частинок в нульовому наближенні.
Наступні наближення для функцій Fn можуть бути знайдені послідовно з рівнянь:
В
(31)
Вирішуючи перше з цих рівнянь, можна в принципі знайти F1, вирішуючи потім друге рівняння - знайти G2 і, отже, F2 і т. д.
Ми обмежимося нульовим наближенням (30) і в якості ілюструючого приклад розглянемо завдання про вільний розширенні газу в порожнечу. Нехай у початковий момент t = 0 газ з максвелловським розподілом за швидкостям в одновимірному випадку займає півпростір х <0. Потім стінка х = 0 віддаляється і газ починає розширюватися. p> Початковий розподіл f (r, v, 0) задається тоді формулою
, (32)
де Пѓ (х) - ступінчаста функція (нагадуємо, що функція f (r, v, t) пов'язана з F1 (r, v, t) співвідношенням f = F1n = F1/П‰).
Згідно співвідношенню (30) продовження в часі функції f (х, v, 0) дається формулою
(33)
Просторова щільність числа частинок в точці х в момент часу t дорівнює
, (34)
і середня швидкість газу u (x, t) дорівнює
(35)
Так як п (х, t) і і (х, t) залежать тільки від x/t, то й розподіл щільності газу, і розподіл по швидкостям в просторі залишаються подібними самим собі, а геометричне місце рівних густин і рівних ш...
