МІНЕСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
ТАТАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНО-ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Математичний факультет
Кафедра обчислювальної математики, інформатики та методики її викладання
Курсова робота
взаємодії двох радіально пульсуючих бульбашок газу в рідині
Виконав студент 146 групи: Вафин А.А.
Науковий керівник: д. ф. - м. н. Аганін А. А.
Казань - 2007
В
Зміст
Введення
1. Постановка завдання в рамках рівнянь динаміки рідини
2. Математична модель взаємодії бульбашок
3. Методика рішення
4. Дослідження взаємодії двох радіально пульсуючих бульбашок газу в рідині
5. Висновок
6. Література
7. Додаток. (Програма розрахунку).
В
Введення
До теперішнього часу досить добре вивчена динаміка окремого бульбашки газу в рідині. Отримані в цьому відношенні результати мають важливе теоретичне і прикладне значення. Разом з тим, в реальних рідинах, як правило, присутня не один, а безліч бульбашок, так що властивості рідин істотно залежать від особливостей взаємодії між бульбашками. У силу більшої складності цей питання є менш вивченим, хоча він і має важливе прикладне значення.
У цьому курсової роботі досліджується взаємодії двох радіально пульсуючих бульбашок газу в рідини ранні виведеної математичної моделі. В принципі, таке взаємодія можна вивчати і на основі широко відомих рівнянь Нав'є-Стокса методом прямого чисельного моделювання. Однак такий підхід поки не використовується в силу великих потреб комп'ютерного часу навіть на сучасних комп'ютерах з високою швидкодією. У моделі, що використовується в курсовій роботі, рідина вважається нев'язкої нестисливої, бульбашки - осесиметричними. Пухирці розташовані стерпно. Їх загальна вісь симетрії спрямована вертикально вздовж дії сили тяжіння. Пухирці здійснюють нелінійні радіальні коливання, а швидкості їх вертикального просторового переміщення вважаються малими. Використовуються три системи відліку, одна нерухома і дві рухливі. В якості нерухомої системи прийняті декартові координати, а в якості рухомих систем - сферичні координати. Початок відліку радіальних координат у рухливих сферичних системах відліку пов'язано з центрами бульбашок. Поверхні кожного з бульбашок представляються у вигляді ряду по поверхневим сферичним гармоникам нульовою, другої, третьої, четвертої та т.д. ступенів. При цьому сферична гармоніка нульової ступеня описує радіальну складову поверхні бульбашки, а гармоніки другої, третьої і т.д. ступенів - відхилення від сферичної форми у вигляді відповідної гармоніки (другого ступеня - еліпсоїдальні відхилення, третьої - грушоподібні і т.д.).
Створена математична модель являє собою систему звичайних диференціальних рівнянь другого порядку щодо радіусів бульбашок, просторового положення їх центрів і амплітуди відхилень від сферичної форми бульбашок у вигляді сферичних поверхневих гармонік. При виведенні цих рівнянь використовуються приватні рішення рівняння Лапласа в сферичній системі координат і інтеграл Коші-Лагранжа.
В
Постановка завдання в рамках рівнянь динаміки рідини
Розглядається динаміка двох газових бульбашок у необмеженому обсязі нев'язкої нестисливої вЂ‹вЂ‹рідини. Динаміка рідини описується рівняннями
,В . (1)
Тут - час ейлерових (нерухомих) систем координат,В , (Нижній індекс означає приватну похідну), - вектор швидкості, - щільність рідини, - тиск,,,,-направляючі вектори просторових координат. Тут і далі, якщо не обумовлено гидке, по повторюваним індексам передбачається підсумовування (тут від 1 до 3). p> Пухирці розташовані вздовж вертикальної осі нерухомої декартової системи координат (рис.1). p> На поверхні кожного бульбашки виконуються наступні умови:
кінематичне
, (2)
і динамічне
. (3)
Тут - швидкість точки поверхні бульбашки, - нормаль до поверхні бульбашки, верхні знаки вказують на ставлення до зовнішньої (+) і внутрішньої (-) сторонам поверхні.
Газ в бульбашках приймається гомобаріческім (з однорідним розподілом тиску) з тиском, що змінюються за законом (Ван-дер-Ваальса)
, (4)
де - початковий тиск газу в бульбашці, - поточний і початковий обсяги бульбашки, - постійна, - показник адіабати.
На нескінченному віддаленні від пухирців тиск рідини здійснює гармонійні коливання
, (5)
де - статичне тиск в рідині,, - амплітуда і частота коливань.
Розглядаються випадок, коли форма бульбашок у сюжеті проміжку часу залишається відносно близькій до сферичної. h1> Математична модель взаємодії бульбашок
У п'ятому наближенні щодо рівняння динаміки двох газових бульбашок у в'язкої стисливої вЂ‹вЂ‹рідини являют...
