n="justify">, що і функція f (x), тобто g (x i ) = y i , i = 0,1, ... n. При цьому передбачається, що серед значень x i немає однакових, тобто x i В№ x k при цьому i В№ k. Точки x i називаються вузлами інтерполяції, а многочлен g (x) - інтерполяційним многочленом.
В
Малюнок 1.1 - Графік інтерполяційного многочлена
Таким чином, близькість інтерполяційного многочлена до заданої функції полягає в тому, що їх значення співпадають на заданій схемі точок (рисунок 1.1, пунктирною лінією).
Максимальна ступінь інтерполяційного многочлена m = n; в цьому випадку говорять про глобальну інтерполяції.
При великій кількості вузлів інтерполяції виходить високий ступінь многочлена (1.2) у разі глобальної інтерполяції, тобто коли потрібно вміти один інтерполяційний многочлен для всього інтервалу зміни аргументу. Крім того, табличні дані могли бути отримані шляхом вимірів і містити помилки. Побудова аппроксимируемой многочлена з умовою обов'язкового проходження його графіка через ці експериментальні точки означало б ретельне повторення допущених при вимірах помилок. Вихід з цього становища може бути знайдений вибором такого многочлена, графік якого проходить близько від даних точок. p align="justify"> Одним з таких видів є середньоквадратичне наближення функції за допомогою многочлена (1.2). При цьому m ВЈ n; випадок m = n відповідає інтерполяції. На практиці намагаються підібрати апроксимуючий многочлен як можна меншою мірою (як правило, m = 1, 2, 3) [3].
Мірою відхилення многочлена g (x) від заданої функції f (x) на множині точок (x i , y i ) (i = 0,1, ..., n) при среднеквадратичном наближенні є величина S, що дорівнює сумі квадратів різниці між значеннями многочлена і функції в даних точках:
В
Для побудови апроксимує многочлена потрібно підібрати коефіцієнти a 0 , a 1 , ..., a m так, щоб величина S була найменшою . У цьому полягає метод найменших квадратів [2].
;
В В
