ign="justify"> Розглянемо морфізм в категорії , рівний морфізма і певний комутативними діаграмою
В
Діаграма 19
Доведемо, що цей морфізм є універсальною стрілкою. Це означає, що для довільних об'єктів , для кожного існує єдиний морфізм , хто чинить комутативним трикутник
В
Діаграма 20
Таким чином, нам потрібно довести, що кожного комутативного трикутника
В
Діаграма 21
Існує єдиний комутативними трикутник
В
Діаграма 22
такий, що комутативні діаграма
В
Діаграма 23
Зауважимо, що коммутативность цієї діаграми рівносильна коммутативности всіх її трикутників і матиме тоді і тільки тоді, коли .
Оскільки пов'язаний ліворуч до , то існує природна за біекція , що зіставляє кожному морфізм . Зворотне відображення визначається за допомогою .
Повернемося до доказу універсальної стрілки. Покладемо . Тоді буде вірно рівність , що дає коммутативность діаграми (2). А коммутативность трикутника (1) буде витікати з викладок:
В
Одиничність морфізма , що робить комутативної діаграму (2), випливає з необхідності виконання рівності рівносильного рівності < span align = "justify">.
Оскільки існує універсальна стрілка, те функтор пов'язаний ліворуч до .
Безліччю з початковою точкою (для того, щоб відрізняти його від безлічі з доданою точкою ) ми будемо називати пару , складається з безлічі Х і елементу . Цей елемент називається початковою точкою. Морфізм множин з початковими точками називається відображення, що переводить початкову точку в початкову. Категорія множин з початковою точкою буде містити еквівалентну їй підкатегорію . Аналогічно, кубічну (або полукубические) безліч буде називатися мають початкову точку, якщо в ньому виділена довільна вершина (куб розмірності 0). Морфізм полукубические множин з початковими точками будуть служити морфізм, що переводять початкову точ...
