м. Складання алгоритму дозволяє дітям не тільки навчитися вирішувати приклади, але і контролювати свої дії. Діти, беручи участь у складанні алгоритму, настільки захоплюються процесом покрокових дій, що при його використанні помилкових відповідей майже не допускають.
Найбільш часто використовувані алгоритми на уроках математики в початкових класах це алгоритми додавання, віднімання, множення і ділення натуральних чисел. Зупинимося докладніше на кожному з них.
Алгоритм складання. Додавання однозначних чисел можна виконати, грунтуючись на визначенні цієї дії, але щоб всякий раз не звертатися до визначення, всі суми, які виходять при додаванні однозначних чисел, записують в особливу таблицю, звану таблицею складання однозначних чисел, і запам'ятовують.
Природно, сенс складання зберігається і для багатозначних чисел, але практичне виконання додавання відбувається за особливими правилами. Суму багатозначних чисел зазвичай знаходять, виконуючи додавання стовпчиком. Наприклад:
+ 341
З'ясуємо, яким чином виникає цей алгоритм, які теоретичні положення лежать в його основі.
Уявімо доданки 341 і 7238 у вигляді суми ступенів десяти з коефіцієнтами:
+ 7 238=(3 102 + 4 10 + 1) + (7 103 + 2 102 + 3 10 + 8).
Розкриємо дужки в отриманому виразі, поміняємо місцями і згрупуємо доданки так, щоб одиниці опинилися поряд з одиницями, десятки - з десятками і т.д. Усі перетворення можна виконати на підставі відповідних властивостей складання. Властивість асоціативності дозволяє записати вираз без дужок:
102 + 4 10 + 1 + 7 103 + 2 102 + 3 10 + 8.
На підставі властивості коммутативности поміняємо місцями доданки: 7 103 + 3 102 + 2 102 + 4 10 + 3 10 + 1 + 8. Відповідно до властивості асоціативності, зробимо угруповання: 7103 + (3102 + 2- 102) + (4 10+ + 3 10) + (1+ 8). Винесемо за дужки в першій виділеній групі число 102, у другій - 10. Це можна зробити у відповідності зі властивістю дистрибутивності множення відносно додавання:
103 + (3 + 2) 102 + (4 + 3) 10 + (1 + 8).
Отже, додавання даних чисел 341 і 7238 звелося до додавання однозначних чисел, зображених цифрами відповідних розрядів. Ці суми знаходимо по таблиці складання: 7103 + 5102 + + 7-10 + 9. Отриманий вираз є десяткова запис числа 7 579.
Бачимо, що в основі алгоритму складання багатозначних чисел лежать наступні теоретичні факти:
спосіб запису чисел в десятковій системі числення;
властивості коммутативности і асоціативності складання;
дистрибутивность множення відносно додавання;
таблиця складання однозначних чисел.
Неважко переконатися в тому, що у разі додавання чисел «з переходом через десяток» теоретичні основи алгоритму складання будуть тими ж. Розглянемо, наприклад, суму 748 + 436.
Уявімо доданки у вигляді суми ступенів десяти з відповідними коефіцієнтами: (7 102 + 4 10 + 8) + (4 102 + 3 10 + 6). Скористаємося властивостями додавання і дистрибутивних множення відносно додавання і перетворимо отриманий вираз до такого виду:
(7 + 4) 102 + (4 + 3) 10 + (8 + 6). Бачимо, що в цьому випадку додавання даних чисел також звелося до додавання однозначних чисел, але суми 7 + 4,
+ 6 перевищують 10 і тому останній вираз не є десяткової записом числа. Необхідно зробити так, щоб коефіцієнти перед ступенями 10 виявилися меншими 10. Для цього виконаємо ряд перетворень. Спершу суму 8 + 6 представимо у відео 1 10 +4:
(7 + 4) 102 + (4 + 3) 10 + (1 10 + 4).
Потім скористаємося властивостями додавання і множення і наведемо отриманий вираз до виду: (7 + 4) 102 + (4 + 3 + 1) 10 + 4.
Суть останнього перетворення така: десяток, який вийшов при додаванні одиниць, додамо до десяткам даних чисел. І нарешті, записавши суму 7 + 4 у вигляді 1 10 +1, отримуємо: (1 10 + 1) 102 + 8 10 + 4. Останній вираз є десяткова запис числа 1 184. Отже, 748 + 436=1 184.
Виведемо алгоритм складання багатозначних чисел в загальному вигляді. Нехай дано числа: х=аn 10n + аn - 10 січня n - 1+ ... + а0 і у=bn 10 n + bn - 10 січня n - 1+ ... + b0, тобто розглянемо випадок, коли кількість цифр у запису чисел х і у однаково. Знайдемо суму х + у=(а n 10 n + аn - 1 10 n - 1+ ... + а0) + (bn 10 n + bn - 1
10 n - 1+ ... + b0)=(аn + bn) 10 n + (аn - 1 + bn - 1) 10 n - 1 + ... + (а0 + b0 ) -перетворення виконані на основі властивостей асоціативності і коммутативности додавання, а також дистрибутивності множення щодо складання. Суму (аn + bn) 10 n + (аn - 1 + bn - 1) ...
