10 n - 1 + ... + (а0 + b0)), взагалі кажучи, не можна розглядати як десяткову запис числа х + у, так як коефіцієнти перед ступенями 10 можуть бути більше 9. Лише у випадку, коли всі суми ак + bк не перевищують 9, операцію складання можна вважати закінченою. В іншому випадку вибираємо найменше до, для якого ак + bк gt; 10. Якщо ак + bк gt; 10, то з того, що 0 lt; ак lt; 9 і 0 lt; bк lt; 9, слід нерівність 0 lt; ак + bк lt; 18 і тому ак + bк можна представити у вигляді ак + bк== 10 + ск, де 0 lt; ск lt; 9. Але тоді (ак + bк) 10 n=(10 + ск) 10 n== 10 k + 1 + cк 10 k. В силу властивостей додавання і множення в (аn + bn) 10 n + ... + (а0 + b0) доданки (ак + 1 + bк + 1) 10 k + 1 + (ак + bк) 10 k можуть бути замінені на (ак + 1 + bк + 1 + 1) 10 k + 1 + ск - 10 k. Після цього розглядаємо коефіцієнти аn + bn, аn - 1 + bn - 1, ..., ак + 2 + bк + 1, аk + 1 + bк + 1 + 1, вибираємо найменше s, при якому коефіцієнт більше 9, і повторюємо описану процедуру. Через п кроків прийдемо до вираження виду: х + у=(с n + 10) 10 n + ... + с0, де
з n? 0, або х + у=10 n + 1 + сn 10 n + ... + с0, і де для всіх п виконується рівність 0 lt; сn lt; 10. Тим самим отримана десяткова запис числа х + у.
У випадку, коли десяткові записи доданків мають різну кількість цифр, треба приписати до числа, що має меншу кількість цифр, кілька нулів попереду, зрівнявши кількість цифр в обох доданків. Після цього застосовується описаний вище процес складання.
У загальному вигляді алгоритм складання натуральних чисел, записаних в десятковій системі числення, формулюють так:
записують другий доданок під першим так, щоб відповідні розряди знаходилися один під одним;
складають одиниці першого розряду. Якщо сума менше десяти її записують в розряд одиниць відповіді і переходять до наступного розряду (десятків);
якщо сума одиниць більше або дорівнює десяти, то її представляють у вигляді а0 + b0=1 +10 + с0, де с0 - однозначне число; записують з0 в розряд одиниць відповіді і додають 1 до десяткам перший доданка, після чого переходять до розряду десятків;
повторюють ті ж дії з десятками, потім з сотнями і т.д. Процес закінчується, коли виявляються складеними цифри старших розрядів. При цьому, якщо їх сума більше або дорівнює десяти, то попереду обох доданків приписують нулі, збільшують нуль перед першим доданком на 1 і виконують складання 1 + 0=1.
Зауважимо, що в цьому алгоритмі (як і в деяких інших) для стислості вживається термін «цифра» замість «однозначне число, зображуване цифрою».
Алгоритм віднімання. Віднімання однозначного числа b з однозначного або двозначного числа а, що не перевищує 18, зводиться до пошуку такого числа с, що b + с=а, і відбувається з урахуванням таблиці додавання однозначних чисел.
Якщо ж числа а і b багатозначні і b lt; а, то сенс дії віднімання залишається тим же, що і для віднімання в межах 20, але техніка знаходження різниці стає іншою: різниця багатозначних чисел найчастіше знаходять, виробляючи обчислення стовпчиком, за певним алгоритмом. З'ясуємо, яким чином виникає цей алгоритм, які теоретичні факти лежать в його основі.
Розглянемо різницю чисел 485 і 231. Скористаємося правилом запису чисел в десятковій системі числення і представимо дану різницю в такому вигляді: 485-231=(4 102 + 8 10 + 5) - (2102 + 3-10 + 1). Щоб відняти з числа
102 + 8 10 + 5 суму 2102 + 3 - 10 + 1, досить відняти з нього кожний доданок цієї суми одне за іншим, і тоді:
(4- 102 + 8- 10 + 5) - (2- 102 + 3 10 + 1)=
=(4- 102 + 8 10 + 5) - 2102 - 3 10 - 1.
Щоб відняти число із суми, досить відняти його з якого-небудь одного доданка (більшого чи рівного цьому числу). Тому число
102 віднімемо з доданка 4102, число 3 10 - з доданка +8 10, а число 1 - з с?? агаемого 5, тоді:
(4-102 + 8 10 + 5) - 2 102- 3 10- 1=(4 102 -
2102) + (8 10 - 10 березня) + (5 - 1).
Скористаємося Дистрибутивних множення щодо вирахування і винесемо за дужки 102 і 10. Тоді вираз буде мати вигляд: (4- 2) 102 + (8 - - 3) 10 + (5 - 1). Бачимо, що віднімання тризначного числа 231 з тризначного числа 485 звелося до віднімання однозначних чисел, зображених цифрами відповідних розрядів у записі заданих тризначних чисел. Різниці 4-2,
- 3 і 5 - 1 знаходимо по таблиці додавання і отримуємо вираз: 2102 + 5 10 +4, яке є записом числа 254 в десятковій системі числення. Таким чином, 485-231=254. Вираз (4- 2) 102 + (8 - 3) 10 + (5 - 1) задає правило віднімання, яке зазвичай виконується стовпчиком:
_ 485
Бачимо, що віднімання ...
