П‰ /∂ k дорівнює нулю. Це твердження справедливо для обох гілок коливань. h5> Рішення зі знаком '' Плюс''.
У точці k = 0:
(40)
На кордоні зони Бріллюена:
(41)
Групова швидкість цієї гілки ∂ П‰ /∂ k дорівнює нулю як на межі зони Бріллюена, так і при k = 0. p> Ця гілка цілком лежить вище акустичної гілки: її мінімальна частота більше максимальної частоти акустичних коливань. Таким чином, в ланцюжку можуть поширюватися хвилі в частотами від 0 до і від до. Інтервал частот є'' забороненою зоною'': хвиль з такими частотами не існує. Відносна ширина цього інтервалу тим більше, чим більше відношення мас M 2 / M 1 . p> Щоб зрозуміти, що являють собою довгохвильові коливання цієї гілки, знайдемо відношення амплітуд коливань B / A при k = 0 за допомогою (36):
(42)
Ми бачимо, що атоми в кожному осередку рухаються в протифазі, то зближуючись, то віддаляючись один від одного, причому одночасно у всіх осередках (Якщо k = 0). Амплітуда руху легкого атома більше амплітуди важкого в M 2 / M 1 разів, тобто центр ваги комірки залишається на місці. br/>
В
Рис. 3.3. Амплітуди атомів ланцюжка в разі довгохвильових оптичних коливань.
Якщо атоми заряджені, то при коливаннях такого типу кожна клітинка являє собою змінний дипольний момент. Дипольні моменти взаємодіють з електромагнітним полем, і коливання легко збуджуються електромагнітними хвилями відповідних частот. У зв'язку з цим, вся гілка коливань називається оптичною. p> При довгохвильових акустичних коливаннях атоми осередку рухаються у фазі і ніякого дипольного моменту не виникає. Тому акустичні коливання з електромагнітним полем взаємодіють слабо. p> Енергія довгохвильового оптичного фонона має той же порядок величини, що й енергія фонона акустичного коливання з максимальною частотою, яку ми оцінили в 0,05 еВ. Енергії оптичних фононів більшості напівпровідник ових кристалів лежать в діапазоні 0,03 Г· 0,1 еВ. p> Подивимося тепер, як коливаються атоми, коли довжина хвилі мінімальна, тобто коли хвильовий вектор лежить на межі зони Бріллюена. p> У разі акустичних коливань П‰ 2 = 2 Оі / M 2 , коефіцієнт при B в другому рівнянні системи (25) звертається в нуль, звідки випливає що A = 0. p> У разі оптичних коливань П‰ 2 = 2 Оі / M 1 , і з першого рівняння (25) випливає що B = 0. p> Таким чином, при k = ПЂ / a у разі акустичних хвиль коливаються важкі атоми, а легкі нерухомі, в випадку оптичних, навпаки: коливаються легкі, важкі стоять на місці. p> Узагальнимо тепер отримані результати. Неважко показати, що якщо примітивна комірка одновимірної ланцюжка містить l атомів, то спектр коливань складається з l гілок, одна з яких акустична, а інші - Оптичні. p> Ми розглядали нескінченну ланцюжок, що не накладаючи жодних обмежень на довжини хвиль пружних коливань. В результаті, ми прийшли до висновку, що в ланцюжку можуть поширюватися коливання з будь-якими хвильовими векторами, лежачими в першій зоні Бріллюена. (Було показано, що через дискретності ланцюжка хвильові вектора, що відрізняються на довільний вектор оберненої гратки, описують одні й ті ж коливання. Тому можна брати хвильовий вектор з будь зони Бріллюена. Природніше всього описувати коливання найменшим хвильовим вектором, тобто вектором з першої зони Бріллюна.)
Щоб мати справу не з безперервним, а з дискретним набором хвильових векторів, можна зажадати, щоб відхилення атомів від рівноваги було періодичною функцією: u ( x n ) = u ( x n + L ). Іншими словами - поставити граничні умови Борна-Кармана. Період L повинен бути кратний постійної грати ланцюжка. p> Умов Борна-Кармана задовольняють тільки гармонійні коливання з'' дозволеними'' хвильовими векторами k n = 2 ПЂ n / L . Неважко підрахувати, що в зоні Бріллюена розміщується L / a дозволених хвильових векторів, тобто рівно стільки, скільки примітивних осередків укладається на довжині L . (Хвильовим векторах - ПЂ / a і ПЂ / a відповідає одне і те ж коливання і тому вважаємо ці два значення за одне). Ми вже згадували вище про цю властивість зони Бріллюена. p> Так як коливання однозначно визначається хвильовим вектором і гілкою, то різних коливань стільки, скільки атомів містить ланцюжок. Це загальна властивість лінійних коливальних систем: кількість незалежних коливань (Нормальних...
