можливо в силу попередньої теореми.
Покладемо G = G 1 + G 2 .
Тоді G є відкрите обмежене безліч, містить безліч F. Значить,
mF ВЈ mG ВЈ mG 1 + mG 2 1 + mF 2 + e.
У силу довільності e, звідси випливає що
mF ВЈ mF 1 + mF 2 (*)
З іншого боку, в силу теореми отделимости, існують такі відкриті множини B 1 і B 2 , що
B i Г‰ F i (i = 1, 2), B 1 B 2 = 0. p> Відзначивши це візьмемо довільне e> 0 і знайдемо таке відкрите обмежене безліч G, що G Г‰ F, mG
Тоді безлічі B 1 G і ​​B 2 G суть відкриті обмежені взаємно пересічні безлічі, містять, відповідно, безлічі F 1 і F 2 .
Значить,
MF 1 + mF 2 ВЈ m (B 1 G) + m (B 2 G ) = m [B 1 G + B 2 G]
(тут ми скористалися аддитивностью заходів для відкритих множин). Але B 1 G + B 2 G ГЊ G, звідки
mF 1 + mF 2 ВЈ mG
і в силу довільності e,
mF 1 + mF 2 ВЈ mF. ( * * )
Зіставляючи ( * ) і ( * * ), отримаємо
mF = mF 1 + mF 2 ,
що й потрібно було довести.
Зовнішня і внутрішня заходи обмеженого безлічі
Визначення 1. Зовнішньої заходом m * E обмеженого безлічі E називається точна нижня межа заходів всіляких відкритих обмежених множин, що містять безліч E :
В
Очевидно, для всякого обмеженої множини E Cуществует зовнішня міра, причому 0 ВЈ m * E <+ ВҐ.
Визначення 2. Внутрішньої мірою m * E обмеженого безлічі E називається точна верхня межа заходів всіляких замкнутих множин, що містяться в множині E :
m * E =.
Очевидно, що всяке обмежене безліч E має внутрішню міру, причому 0 ВЈ m * E <+ ВҐ.
Теорема 1. Якщо G є відкрите обмежене безліч, то
m * G = m * G = mG.
Теорема випливає з слідства теореми 1 і теореми 4.
Теорема 2. Якщо F є замкнутий обмежене безліч, то
m * F = m * F = mF.
Теорема випливає з слідства теореми 2 і теореми 5.
Теорема 3. Для всякого обмеженої множини Е
m * E ВЈ m * E.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай G обмежене...
