відкрите безліч, містить безліч Є. Яке б замкнута підмножина F множини Е ні взяти, буде F ГЊ G і, в силу теореми 3, mF ВЈ mG . Звідси m * E ВЈ mG. Але так як це вірно для якого відкритого обмеженої множини G , містить Е, то m * E ВЈ m * E, що й потрібно довести.
Теорема 4 . Нехай A і B суть обмежені множини. Якщо A ГЊ В, то
m * A ВЈ m * В, m * A ВЈ m * B.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Обидва нерівності доводяться аналогічно. Зупинимося для прикладу на першому з них. p> Нехай S є безліч, що складається з заходів всіляких замкнутих підмножин множини А, а Т таке ж безліч для безлічі В. Тоді m * A = sup S, m * B = sup T.
Нехай F є замкнута підмножина А, тоді й поготів F є підмножиною безлічі В. Звідси випливає, що S ГЊ T, і теорема випливає з того відомого факту, що точна верхня межа підмножини-якого множини не перевершує точної верхньої межі самого цієї множини.
Теорема 5. Якщо обмежене безліч Е є сума кінцевого числа або лічильного безлічі множин Е k
E =, то m * E ВЈ. p> Д про до а із а т е л ь с т в о. Теорема тривіальна у разі расходімості ряду. Припустимо, що цей ряд сходиться. Взявши довільне e> 0, ми можемо знайти такі відкриті обмежені безлічі G k , що
G k Г‰E k , mG k k + (R = 1, 2, 3, ...).
Назвемо через D який-небудь інтервал, містить безліч Є. Тоді ЕГЊD, звідки, в силу теореми 3.
m * E ВЈ m = m ВЈ,
і теорема випливає з довільності числа e.
Теорема 6 . Якщо обмежене безліч Е є сума кінцевого числа або лічильного безлічі взаємно не налягати множин Е k
Е = (E k E k ' = 0, k В№ k'),
то
m * E Ві * E k .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Розглянемо перші n множин Е 1 , Е 2 , ... ..., Е n . Для будь-якого e> 0 існують такі замкнуті безлічі F k , що
F k ГЊE k , mF k > m * E k - (k = 1, 2, ..., n).
Множини F k попарно не перетинаються і сума їх замкнута. Звідси, застосовуючи теорему 6, отримаємо
m * E Ві m = mF k > m * E k - e.
Так як e> 0 довільно, то m * E k ВЈ m * E.
Цим теорема доведена для випадку кінцевого числа доданків множин. Якщо ж цих множин є рахункове безліч, то, спираючись на довільність числа n, ми встановимо відповідність низки m * E k і нерівність m * E k
