> G є точна верхня межа заходів всіляких замкнутих множин, містяться в G .
Д про до а із а т е л ь с т в о. У силу попередньої теореми, mG є точна межа заходів замкнутих множин FГЊG, і треба довести, що заходи цих замкнутих множин можуть бути як завгодно близькі до mG.
Нехай складові інтервали множин G суть (l k , m k ) (k = 1, 2, ...), так що mG = (m k - l k ).
Візьмемо довільне e> 0 і знайдемо настільки велике натуральне n, щоб виявилося m k - l k )> mG -.
Потім для кожного k (k = 1, 2, ..., n) знайдемо такий сегмент [a k , b k ], щоб було
[a k b k ,] ГЊ (l k , m k ), m [ a k , b k ]> m (l k , m k ) -,
(для чого достатньо взяти таке h k , що
0 k
і покласти a k = l k + h k , b k = m k - h k ). Покладемо, нарешті,
F 0 = k , b k ].
Тоді, очевидно, F 0 ГЊ G, F 0 замкнуто і
mF 0 = (b k -a k )> (m k -l k ) -> mG - e.
Так як e довільно мало, то теорема доведена.
Теорема 5. Міра замкнутого обмеженої множини F є точна нижня межа заходів всіляких відкритих обмежених множин, що містять F .
Д про до а із а т е л ь с т в о. Як і вище, досить показати, що можна побудувати відкрите обмежене безліч, що містить безліч F і має міру, як завгодно близьку до mF.
З цією метою візьмемо інтервал D, що містить безліч F, і розглянемо відкрите безліч C D F. Яке б не було e> 0, ми можемо (в силу теореми 4) знайти замкнутий безліч Ф таке, що Ф ГЊ З D F, mф> m [C D F] - e.
Покладемо G 0 = С D Ф. Легко бачити, що G 0 є відкрите безліч, містить F. Разом з тим
mG 0 = mD - mф D F] + e = mF + e
Теорема доведена.
Теорема 6 . Нехай обмежене замкнутий безліч F Тобто сума кінцевого числа взаємно не перетинаються замкнутих множин
F = (F k F k ' = 0, k В№ k').
Тоді
mF =
Д про до а із а т е л ь с т в о. Очевидно, досить розглянути випадок двох доданків F = F 1 + F 2 (F 1 F 2 = 0).
Візьмемо довільне e> 0 і підберемо два обмежених відкритих безлічі G 1 і G 2 так, щоб виявилося
G i Г‰ F i (i = 1, 2),
що...
