діями.
Теорема. Відрізок, довжина якого задається позитивної функцією для даних відрізків, може бути побудований циркулем і лінійкою тоді і тільки тоді, коли довжина шуканого відрізка виражається через довжини даних відрізків за допомогою кінцевого числа основних дій.
Достатність. За допомогою циркуля і лінійки можна побудувати відрізок, довжина якого x дорівнює відповідно:
а + в
а-в
ав (За рахунок, е = 1)
(- В«-)
В
Так, як за умовою довжина шуканого відрізка виражається через довжини даних відрізків з допомогою кінцевого числа основних дій, то залишається єдиний можливий випадок, коли проміжний відрізок не зможемо побудувати - це побудова різниці а-в при а <в.
У таких випадках перейдемо до позитивної різниці за допомогою тотожності а - в = - (У - а). p> Тепер можна послідовно виконати всі побудови, відповідні основним операціями, і через кінцеве число кроків одержимо шуканий відрізок. p> Необхідність. Ясно, що побудова відрізка равносіл'но побудови його кінців. Так як можна побудувати, то існує кінцева послідовність основних побудов, в результаті виконання яких на якомусь m-му кроці буде побудований один кінець (Позначимо його через А), а на к-ом - інший кінець (крапку в). На площині побудуємо прямокутну декартову систему координат.
В
Нехай А (, ОІ), В (Оі, Оґ) - координати побудованих точок. Дані відрізки побудуємо на позитивній півосі ОХ, тоді довжини цих відрізків виражаються числами а 1 , ..., а р П‚ (А, В) = х = тобто довжина відрізка виражається через числа, ОІ, Оі, Оґ за допомогою кінцевого числа основних дій. Якщо доведемо, що самі числа, ОІ, Оі, Оґ виражаються через а 1 , ..., а р за допомогою кінцевого числа основних дій, то теорема буде доведена (довжина відрізка виражається за допомогою кінцевого числа основних дій).
Зауважимо, що будь-які побудовані точки в ході побудови з'являються двояко: або обирані довільно, або як спільні точки двох раніше побудованих ліній.
У першому випадку виберемо тільки такі точки, координати яких виражаються через а 1 , ..., а р за допомогою кінцевого числа основних дій.
Під другому випадку точка виходить одним з таких способів:
а) перетин прямих (причому кожна пряма проведена через 2 побудовані точки):
б) перетин кола і прямої (окружність побудована через 2 побудовані точки);
в) перетин двох кіл.
Розглянемо випадок а). Нехай пряма l 1 проведена через точки
C1 (x 1 , y 1 ) і D 1 (x 2 , y 2. ). Покажемо, що числа х 1 , у 1 , х 2 і у 2 можуть бути виражені через а 1 , ..., а р з допомогою кінцевого числа основних дій (К4ОД). Дійсно, нехай рівняння прямої l 1 має вигляд:
в 1 х + З 1 у = d 1
В
Легко переконатися, що чиcле в 1 , з 1, d 1 виражаються через х 1, х 2, у 1, у 2 на кінцевого числа основних дій. Те ж саме має місце щодо коефіцієнтів прямої l 2 : у 2 х + з 2 у + d 2 = 0.
Точка перетину (x 0 , y 0 ) еcть рішення cіcтеми
В
причому рішення виражається через в 1 , з 1 , ..., d 1 на КrОД
В разі б) (х 0 , у 0 ). - точка перетину - є рішення системи
В
Числа х 0 , у 0 виражаються через в, з, d, х 1 , х 2, R c допомогою КrОД. p> У випадку в) точка перетину (х 0 , у 0 ) є рішенням системи
В
Легко переконатися, що рішення виражається за допомогою КrОД через координати раніше побудованих точок.
Отже, координати новозбудованих точок виходять через координати раніше побудованих за допомогою кінцевого числа основних дій. Але, до раніше побудованим точкам застосовні точно такі ж міркування. У кінцевому рахунку (Через кінцівки числа побудов циркулем і лінійкою) отримаємо, що координати А і В виражаються через а 1 , ..., а р на КrОД. p> Слідство. Якщо дано: відрізок, який приймає за одиничний, і число а, то відрізок довжини а може бути побудований циркулем і лінійкою тоді і тільки тоді, коли число а може бути отримано з В«IВ» за допомогою лише кінцевого числа основних дій.
Про завданнях, не нерозв'язних циркулем і лінійкою.
Великий інтерес представляють такі завдання на побудови, коли фігура, яка задовольнить всім умовам задачі, очевидно існує, але не може бути побудована зазначеними інструментами. Такого роду "докази неможливості" навіть простих за формулюва...
