нням завдань на побудову часто виявляються пов'язаними з найбільш важкими питаннями алгебри, аналізу.
Познайомимося з деякими класичними завданнями на побудову, вирішення яких не можуть бути знайдені про допомогою циркуля і лінійки.
1. Задача про квадратуру кола (користувалася винятковою популярністю з найдавніших часів).
Побудувати циркулем і лінійкою квадрат, площа якого балу б дорівнює площі кола даного радіуса.
Нехай - Радіус кола,, тобто площа крута дорівнює площі квадрата зі стороною Інакше кажучи, x є середньою пропорційною і.
Якщо б можна було побудувати, то легко можна було будувати шуканий квадрат.
Отже, задача про квадратуру кола звелася до задачі про опрямленіі окружності, тобто побудови відрізка довжини. При ця довжина дорівнює. p> Ламберт І. (швейцарський математик) довів, що ПЂ - ірраціональне число. Але питання про можливість випрямлення кола залишилося відкритим, оскільки згідно слідству з попередньої теореми відрізок довжини а (при обраному одиничному відрізку) може бути побудований циркулем і лінійкою, якщо а виходить з I за допомогою кінцевого числа основних дій. Такі числа є алгебраїчними, тобто служать корінням многочленів з раціональними коефіцієнтами. Числа, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.
У 1882 р. Ліндеманн Ф. довів, що ПЂ є трансцендентним числом. Отже, проблема про квадратурі крута дозволена, завдання про квадратуру крута не розв'язна про допомогою циркуля і лінійки.
2. Задачу подвоєння куба: знаючи ребро куба, побудувати ребро куба, обсяг якого був б удвічі більше обсягу даного.
Нехай а - довжина ребра даного куба, x - шуканого. Маємо: х 2 = 2а 3 . Якщо а = 1, то отримаємо рівняння х 3 - 2 = 0. Це рівняння не має раціональних коренів (Тому раціональні корені цього рівняння обов'язково цілі, їх треба шукати серед дільників вільного члена). З алгебри відомо: якщо рівняння раціональні числа) не має оптимального кореня, то ні один корінь цього рівняння не може бути виражений через I лише за допомогою кінцевого числа основних дій. Тоді, враховуючи зазначене вище наслідок, отримаємо, що відрізок довжини x не може бути побудований за допомогою циркуля і лінійки.
Зауваження. Це завдання може бути вирішена із залученням двох прямих кутів. p> 3. Задача про трисекции кута: побудувати кут, в 3 рази менший даного. p> Досить розглянути цю задачу для гострих кутів, тому що при тупому кут є гострим і третя частина дорівнює Звідси випливає, що
Отже, нехай О± - даний гострий кут, П† - шуканий,
В В
Якщо відрізок довжини x можна побудувати циркулем і лінійкою, то з прямокутника випливає, що можна побудувати і сам кут П†. Отже, завдання звелася до побудови відрізка довжини х, де x - один з коренів рівняння (I). p> Нехай О± = 60 Вє, тоді в = 1. Рівняння (I) приводиться до виду:
В
Легко переконатися (з тих же міркувань, що і вище), що у цього рівняння немає раціональних коренів, отже немає ні одного кореня, який виражався б через I за допомогою кінцевого числа основних дій.
Отже, задача про трисекции кута не розв'язна циркулем і лінійкою в загальному вигляді.
Але, може бути, вона ніколи не розв'язна? Це не так. Нехай О± = 90 В°. Тоді рівняння (I) має вигляд: x 3 - зх = 0, Відрізок можна побудувати, отже, завдання в цьому випадку залагодити.
В
неважко побудувати і кут П†.
Можна чисто геометрично побудувати кут в 60 В° (хорда дорівнює радіусу, см.ріс.).
В
Зауваження 1. Існують прилади-трісектори, що дозволяють ділити кут на три рівні частини. br/>В
АВСD і AB 1 C 1 D 1 - ромби, П† =.
В
Зауваження 2. Задачу про трисекции кута легко вирішити циркулем. Будуємо послідовно: 1) окружність П‰ відстань між відмітками на лінійці;
2) точку А;
3) пряму, що проходить через А так, щоб відстань між другою точкою перетину з колом і точкою перетину цієї прямої з прямою ОN було одно.
Побудова правильних багатокутників циркулем і лінійкою.
Рішення проблеми пов'язане великими труднощами, і вирішена вона повністю великим німецьким математиком Гауссом в 1796 році.
Питання побудови правильного n -Кутника рівносильний питання про можливість поділу кола на n рівних частин. Візьмемо окружноcть радіуcа і прямокутну систему координат. Завдання поділу
В
окружності на n рівних частин складається в побудові точок
В
т.е, у побудові коренів рівняння Z n - 1 = 0 про тлічних - від Z 0 = 1. Це рівносильно побудови коренів рівняння Це рівняння називається рівнянням ділення кола.
Гаус довів наступну чудову теорему. p> Теорема. Побудова правильног...
