й промінь. Тоді ОА * ОВ = 2 . Інверсія I щодо кола П‰ (o, r) точку B переведе в точку A, пряму в в†’ у ', де b' - деяка окружноcть, тоді A = a ∩ в '. br/>В
Побудова. Будуємо послідовно: 1) П‰ (o, r), 2) в ', де в' = I (в) коло, що проходить через О; 3) А, А а ∩ в, 4) [ОА) - Шуканий. p> Доказ. Через У позначимо перетин в ∩ [ОА). Тоді В - прообраз А, тому що А = [ОА) ∩ в 'в†’ [ОА) ∩ в = В. За визначенням інверсії маємо: ОА * ОВ = R 2 . p> Дослідження. Коли: a ∩ в '= Г?, то немає рішення; - точка дотику, то одне рішення; a ∩ в '= {A}, A - точка дотику, то одне рішення; a ∩ в' = {A 1 A 2 , A 1 в‰ A 2 , то два рішення. p> Алгебраїчний метод.
Сутність: рішення задачі зводять до побудови відрізка, довжину якого можна виразити через довжини даних відрізків за допомогою формул. Потім будують шуканий відрізок по отриманої формулою.
Задача. Дано: кут АОВ і дві точки С і D да промені oв. Знайти на промені [ОА) точку X, щоб величина кута СХD була найбільшою. p> Аналіз. Нехай точка X знайдена. Очевидно, точка X є точкою дотику кола, проходить через С і D. Позначимо довжину відрізка ОХ через х. br/>В
Маємо:
х 2 = | ОС | * | ОD |, | ОС | і | ОD | -
довжини відомих відрізків ОС і ОD). План рішення складається з двох кроків: Будуємо так, щоб
і х = [OA) ∩ П‰ (O, x)
де - довжина відрізка х.
Побудова, доказ, дослідження пропонуємо провести самим.
Побудова відрізків, заданих формулами.
Алгебраїчний метод розв'язання задач на побудову зводиться до побудови відрізків, заданих формулами. p> Повна формулювання завдання: дано відрізки. Нехай а, в, с, ..., d - їх довжина при деякій одиниці вимірювання. Потрібно побудувати за допомогою даних інструментів (циркуля і лінійки) відрізок, довжина якого x (при тій же одиниці виміру) виражається через довжини даних відрізків формулою х = f (a, в 2 , з, ..., d). Будемо розглядати такі значення а, в, с, ..., d, при яких f має сенс і позитивна.
Ми вже знаємо, як БУДУВАТИ вираження
,,,, х = а В± в, (а - в, при а> br/>
в). До розглянутим побудов можна звести побудова більш складних формул:
1), n ​​= натуральне число; робиться так:
, причому, якщо n = p В· q,
, якщо n = p 2 В± q 2 ;
2)
3) В· і т.д.
Всі побудовані вище формули володіють однією загальною cвойcтвом: вони являютcя однорідними виразами першої ступеня. Нагадуємо, вираз F (а, ..., с) називають однорідним ступеня 11, якщо
F (ta, ..., tc) = t n В· F (a, ..., c).
Користуючись поняттям однорідної функції, мо; але виділити деякі, класи алгебраічеcкіх виразів, які можуть бути побудовані циркулем і лінійкою. Наприклад, циркулем і лінійкою можна побудувати:
1) Oтрезок, заданий формулою
,
де P n +1 (...) і P n (a, b, ..., c) - однорідні многочлени з раціональними коефіцієнтами від довжин а, в, ..., з відрізків ступеня відповідно n +1 і n.
Нехай
P n +1 =
Далі, нехай - довільний відрізок, d - його довжина (у тій же одиниці виміру). p> Розділимо чіcлітель на d n , знаменник - на d n -1 .
В
Вираз представляє суму одночленів виду.
Отже, можна побудувати кожний доданок, а тому і весь чисельник:. Аналогічно,. Нарешті будуємо - відрізок довжини х, де;
2) відрізок, заданий формулою, де - ((...) - однорідна раціональна функція 2 ступеня з раціональними коефіцієнтами. Робиться так:, де (R 2 (...) - відношення двох однорідних многочленів, тоді як і вище, будуємо
В
3) Зауваження. При креслення кривих іноді доводиться будувати алгебраїчні вирази, які не є однорідними першого ступеня. Нехай треба побудувати відрізок, довжина якого x = f (a, b, ..., c ), Де f (...) не є однорідною першої cтепени, наприклад, y = x 3 +1. p> Правило: побудова довільного вираження від n аргументів завжди можна звести до побудови деякого однорідного вираження першого ступеня від n +1 аргументів. Досягається це вибором одиниці виміру. p> Виберемо деякий відрізок в якості одиничного, e = 1. br/>
- однорідна функція першого ступеня.
Якщо зуміємо побудувати відрізок за цією формулою, то він і буде шуканим при обраній, одиниці масштабу. Ясно, що отримаємо різні нерівні відрізки залежно від вибору.
Приклади:
1)
2)
3)
4)
5)
Розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки.
Для стислості операції В«+В», В«-В», «·», В«:В» і витяг арифметичного квадратного кореня В»назвемо основними ...
