justify"> У повсякденній мові часто говорять про допустимість чого-небудь, про гіпотетичні події, цілях, які можна намагатися досягти, здогадах про майбутнє. Велика частина фраз мови може бути те істинної, то помилковою залежно від обставин, поточного моменту, точки зору кожного з нас. У природних мовах модальності В«можливийВ», В«необхіднийВ» і допустимий виражаються допоміжними дієсловами, такими як В«повиненВ» і В«можуВ». p align="justify"> Можливість і необхідність називаються алетіческімі модальностями або модальностями можливості. Так само як квантори В«для всіхВ» і В«існуєВ» вводилися в синтаксис логіки першого порядку, можна побудувати формальну мову, використовуючи пару понять В«можливоВ»/В«необхідноВ» як квантори, що діють на формули. Логічна система, що базується на операторах В«можливо, щоВ» і В«необхідно щобВ», називається логікою можливого, або алетіческой логікою. p> Для позначення модальності В«необхідноВ» використовується символ?. Формула? F читається В«необхідно, щоб FВ» чи В«F необхідноВ». Двоїстий? оператор позначається через?. Формула? F читається В«можливо, що FВ» або В«F можливоВ». Один з цих операторів приймається за основний, а інший визначається через нього і заперечення (еквівалентність? F? F можна встановити, застосовуючи доводи, подібні тим, які можна використовувати при доказі співвідношення). p> У повсякденній мові вживаються й інші модальні форми, які важливо перевести в логіку. Деонтическая логіка вводить модальності В«дозволеноВ» В«обов'язковоВ», що реалізує модальні мовні конструкції В«дозволяєтьсяВ» В«треба, щобВ». Епістеміческого логіка, або логіка знання, досліджує модальності В«знанняВ» і В«віриВ», тоді як тимчасова логіка вводить модальності В«інодіВ» і В«завждиВ» (у В«майбутньомуВ» і В«минуломуВ») разом з їх запереченнями В«частоВ» і В«ніколи В».
Зважаючи формального подібності між цими логічними системами їх часто вивчають всі разом або хоча б по групах. Часто використовують термін модальна логіка для позначення сукупності цих логік. Найстарша серед них - логіка можливого. Часто саме її називають модальної. p> Назва модальна логіка походить від того, що модальні логічні системи вводять такі оператори над логічними формулами, які дозволяють модифікувати їх інтерпретацію. Наприклад, у твердженнях В«Можливо, що FВ», В«Поль думає, що FВ», В«Часто правда, що FВ», В«У майбутньому, можливо, буде правда, що FВ», попередні логічної формулою F вирази є модальними операторами. Вони можуть ставитися до якої завгодно логічної формулою F. Значення істинності залежить не тільки від значення істинності формули F, яку вони містять, але і від моменту проголошення модальної формули (тимчасові логіки), від людини, яка думає, що F, або вірить, що F (логіка віри), або від необхідного, можливого або випадкового характеру деякого факту (логіки можливого).
Модальні оператори
Мається схожість між визначеннями кожної з пар операторів (на кшталт В«можливоВ»/В«визначеноВ», В«інодіВ»/В«завждиВ» і т. д.) і визначенням пари кванторів існування/спільності. Це підказує наступне визначення модальних операторів:
Модальне оператор общностіявляется:
В· або ім'ям модального оператора,
В· або виразом, що складається з імені модального оператора, за яким слідує список (t1, t2, ..., tn) термів ti (i = 1,2, ..., n).
Модальне оператор існування? визначається через заперечення модального оператора спільності:
? F = defF.
Приклади модальних операторів
В· Алетіческіе оператори:
- ?: необхідно;
? А істинно тоді і тільки тоді, коли
А необхідно істинно (а)
або А абсолютно істинно (b)
або А істинно у всіх можливих світах. (С)
- ?: можливо;
? А істинно,
якщо А може виявитися істинним, (а)
або якщо А умовно істинно, (b)
або якщо А істинно в деякому з можливих світів. (С)
(Інтерпретації (а), (b) і (с) для? та? відповідно; в кожній з пар (а), (b) і (с) згруповані двоїсті інтерпретації).
В· Тимчасові оператор:
- G: завжди (в майбутньому);
GА істинно, якщо А залишається істинним назавжди.
- H: завжди (в минулому);
HА істинно, якщо А завжди було істинним.
- F: іноді (у майбутньому);
FА істинно, якщо А і...
