ку в початкову.
Приклад. Нехай - забуває функтор, - функтор, сопоставляющий кожному безлічі вільну абелеву групу, породжену цим безліччю. Оскільки категорію множин з початковими точками можна розглядати як кома-категорію складається з єдиного елемента, то за пропозицією 1 отримуємо пару сполучених функторів між категоріями .
Зазначимо двоїсте твердження: Слідство. Нехай функтор пов'язаний ліворуч до функтора . Тоді для кожного існують функтори , такі що пов'язаний ліворуч до
Доказ. Запис означатиме, що пов'язаний ліворуч до . Мають місце еквівалентність . Значить, для будь-якого існує пара сполучених функторів
В
Отримуємо функтори
В
Переходячи до дуальним категоріям, приходимо до функтора .
Парні функтори між категоріями діаграм
Пропозиція1. Нехай - підкатегорія категорії малих категорій, - категорії. Для довільної пари сполучених функторів має місце пара сполучених функторів
В
Доказ. Позначимо . Нехай - одиниця, а - коедініца сполучення . Комутативні діаграми
В
Діаграма 24
Визначимо природні перетворення за формулами . Перевіримо коммутативность діаграм
В
Діаграма 25
Для всякого функтора мають місце рівності . Компонента отриманої композиції на буде дорівнює
.
Аналогічно доводиться коммутативность другий діаграми. Комутативність діаграм природних перетворень буде витікати з коммутативности компонент. Звідси випливає, що функтор пов'язаний ліворуч до .
Рефлективні підкатегорії
Теорема 1. Нехай - деякий пару. Тоді 1) функтор G уніваленти, якщо і тільки якщо кожна компонента коедініци? є епіморф...
