д координат усередненням по безлічі випадкових подій (конфігурацій), що утворюють ланцюг Маркова з постійними ймовірностями переходів
. (2.2.2)
Розглянемо 3N-мірне конфігураційний простір досліджуваної системи і зробимо його дискретним шляхом підрозділи на довільно велике число s рівних за обсягом осередків. Нехай всі комірки в будь - якому порядку занумеровані. Нехай, сама система знаходиться в i-му стані, якщо її зображає точка знаходиться в i-й осередку. У кожному стані можна приписати системі певне чисельне значення будь-якої функції координат системи, взявши значення, відповідні, наприклад, центрам осередків. Зокрема, і енергія взаємодії частинок системи тепер зображується набором її можливих значень. Ясно, що якщо s досить велике, то заміна безперервного конфігураційного простору дискретним практично не відіб'ється на оцінці середніх значень функції від координат. Тоді замість (2.2.1) маємо
, (2.2.3)
(2.2.4)
Далі будемо розглядати сукупність всіх s можливих станів системи як набір випадкових подій, що утворюють ланцюг Маркова з постійними ймовірностями переходів, рівними і задовольняють умові нормування
. (2.2.5)
Надалі нам потрібні будуть деякі прості відомості з теорії однорідних марковських ланцюгів. Позначимо через ймовірність реалізації переходу за n кроків. Якщо все, утворюють один ергодичний клас, тобто всі стани не періодичні, і з будь-якого стану досяжно будь-який стан при деякому кінцевому числі переходів n, то існує гранична вірогідність
, (2.2.6)
для всіх i, і при цьому
, (2.2.7)
і що реалізують деякий розподіл ймовірностей для. Крім того, в теорії ланцюгів Маркова доводиться, що величини однозначно визначаються при дотриманні нормування (2.2.7) знаменнями величин з системи лінійних рівнянь
, (2.2.8)
і що розподіл, яке визначається числами, є стаціонарний розподіл вірогідності подій, тобто таке їх розподіл, який, будучи прийняте за початкова, не змінювався б у ході досліджуваного марковского процесу. Рівняння (2.1.6) виражають собою прагнення системи до стаціонарного стану незалежно від вибору початкового стану.
Звернемося тепер до конкретних фізичних систем і розглянемо для них питання про дотримання вимоги ергодичності. Нехай для простоти повна енергія взаємодії частинок системи може бути представлена ??у вигляді суми парних взаємодій
, (2.2.9)
де - взаємний потенціал двох частинок, - відстань між i-й до k-й частками. Якщо потенціал ніде не звертається в, то величини ніде не звертаються в нуль, так що всі (2.2.6) також відмінні від нуля. Тому для будь-якого переходу між станами в дискретно конфігураційному просторі існує ненульова ймовірність реалізації при деякому кінцевому числі кроків n. Всі стану системи виявляються, таким чином, досяжними один з одного, і їх сукупність утворює один ерг одичний клас. У такому випадку будь-яка ланцюг Маркова з вірогідністю переходів, певними сходиться до канонічного ансамблю в (2.2.9).
У додатках статистичної фізики часто використовуються модельні міжмолекулярні потенціали, які звертаються при r=0 в. Допущення про парності міжмолекулярних сил в системі (2.2.9) не є обов'язковим. Викладений вище метод Монте-Карло справедливий при будь-якому законі взаємодії частинок, залежном...
