інтегрування V в прикладі вважаємо правильною в напрямі осі OZ, тому що будь-яка пряма, паралельна осі OZ, перетинає межу області не більше ніж у двох точках. Враховуючи, що обсяг області V виражається в декартових координатах формулою
а область V обмежена знизу площиною z=0, а зверху - поверхнею параболоїда обертання z=4 - (x2 + y2) можна звести потрійний інтеграл до обчислення подвійного інтеграла від одноразового:
Спочатку обчислюється внутрішній інтеграл по змінному z з нижньою межею z=0 і верхньою межею z=4 - (x2 + y2). Областю інтегрування D в зовнішньому подвійному інтегралі є проекція тіла V на площину XOY, що має вигляд:
Лінія входу в цю область y=0, лінія виходу. Проекцією області D на вісь OX служить відрізок. Звідси випливає, що у внутрішньому інтегралі по у нижня межа 0, верхня межа, а у внутрішньому інтегралі по х нижня межа 0, а верхня межа. У підсумку обсяг V обчислюється за допомогою триразового інтеграла наступним чином:
=
.
Завдання
Обчислити об'єм тіла, обмеженого поверхнями. Знайти координати центру мас тіла, припускаючи, що воно однорідне.
РІШЕННЯ. Дане тіло обмежено знизу параболоїдом, зверху площиною z=h і проектується в коло площині XOY.
z
y
х
Рис. 1. Область інтегрування
Використовуємо циліндричні координати:
в яких рівняння параболоїда буде
тобто .
Обсяг тіла дорівнює
Координати центру мас тіла обчислюються за формулами
де
де - щільність тіла в точці (х, y, z). Для однорідного тіла можна покласти
Знаходимо:
Таким чином
2. Програмна реалізація завдання
2.1 Постановка завдання на розробку програми
Обчислити наближені значення потрійного інтеграла по прямокутній області.
Мова програмування
Мова програмування Object Pascal розроблений фірмою Inprise International для використання в середовищі Delphi - потужному і популярному сучасному засобі візуального програмування, що дозволяє вирішувати практично будь-які завдання обробки даних і здатній задовольнити найскладніші запити і потреби програміста.
Його прабатьком є ??мова Pascal, який був розроблений швейцарським математиком Николаусом Віртом в 1968 р. з метою використання його як інструменту для навчання комп'ютерного програмування як системної дисципліни. В основу мови були покладені основні ідеї широко відомого в 60-ті роки мови ALGOL - 60. Завдяки надзвичайній гнучкості і зручності мови Pascal було створено численні його діалекти, що знайшли своє втілення у програмному забезпеченні ЕОМ наступних поколінь, що також сприяло його популяризації. Теоретичні основи мови, як з'ясувалося пізніше, виявилися настільки вдалі, що крім традиційних обчислювальних завдань мовою виявився придатний для розробки більш складних програмних структур - систем обробки баз даних, компіляторів і навіть операційних систем.
