на 8. Отримуємо
В результаті отримана відома формула для об'єму кулі радіусом R.
1.7 Фізичні додатки потрійних інтегралів
Маса і статичні моменти тіла
Нехай тіло займає обсяг U і його об'ємна щільність в точці M (x, y, z) задана функцією? (X, y, z). Тоді маса тіла m обчислюється за допомогою потрійного інтеграла:
Статичні моменти тіла відносно координатних площин Oxy, Oxz, Oyz виражаються формулами
Координати центру ваги тіла обчислюються за формулами:
Якщо тіло є однорідним з щільністю? (x, y, z)=1 для точок M (x, y, z) в області U, то центр ваги тіла залежить тільки від геометрії тіла і називається центроїдом.
Моменти інерції тіла
Моменти інерції тіла відносно координатних площин Oxy, Oxz, Oyz визначаються виразами
а моменти інерції тіла відносно координатних осей Ox, Oy, Oz обчислюються за формулами
Як видно, справедливі співвідношення
Моментом інерції тіла відносно початку координат називається інтеграл
Момент інерції відносно початку координат можна виразити через моменти інерції щодо координатних площин:
Тензор інерції
Використовуючи розглянуті вище 6 чисел Ix, Iy, Iz, Ixy, Ixz, Iyz, можна скласти так звану матрицю інерції або тензор інерції тіла:
Даний тензор є симетричним, і, отже, його можна привести до діагонального вигляду при певному виборі осей Ox «, Oy», Oz '. Значення діагональних елементів (після приведення тензора до діагонального вигляду) називаються головними моментами інерції, а вказані напрями? власними векторами або головними осями інерції.
Якщо тіло обертається навколо осі, що не совпадаюшей з головною віссю інерції, то воно буде відчувати вібрації при високих швидкостях обертання. Тому, при конструюванні таких пристроїв необхідно, щоб вісь обертання збігалася з однією з головних осей інерції. Наприклад, при заміні шин автомобіля проводиться їх балансування: невеликі важки додаються до коліс, щоб забезпечити збіг осі обертання з головною віссю інерції і виключити вібрації.
Гравітаційний потенціал і сила тяжіння
Ньютоново потенціалом тіла в точці P (x, y, z) називається інтеграл
де? (?,?,?)? щільність тіла, і.
Інтегрування виконується по всьому об'єму тіла. Знаючи потенціал, можна обчислити силу тяжіння матеріальної точки маси m і заданого розподіленого тіла з щільністю? (?,?,?) За формулою
де G? гравітаційнапостійна.
Приклад
Знайти масу кулі радіуса R, щільність? якого пропорційна квадрату відстані від центру.
Рішення.
За умовою, щільність? задана співвідношенням? =Ar2, де a? деяка постійна, r? відстань від центру. Масу кулі зручно обчислити в сферичних координатах:
1.8 Приклади
Завдання. Обчислити об'єм тіла, обмеженого заданими поверхнями:
Рішення. При зведенні потрійного інтеграла до трикратного і в розстановці меж у кожному з трьох визначених інтегралів діємо за аналогією з випадком подвійного інтеграла. Область ...
