>
Для опису процесів з межею зростання без точки перегину служать функції: крива Джонсона, модифікована експонента та ін Процеси з межею зростання характерні для багатьох відносних показників.
Для опису процесів з межею росту і точкою перегину використовуються логістична крива (крива Перла-Ріда) і крива Гомперца. Такий тип розвитку характерний для попиту на деякі нові товари.
Математичні методи дозволяють представити прогнозуючу модель у вигляді полінома будь-якого порядку. Однак без необхідності використання поліномів високого порядку представляється зайвим.
Параметри моделей можуть бути змістовно інтерпретовані. Так, параметр a 0 у всіх моделях без межі зростання задає початкові умови розвитку, а в моделях з межею зростання - асимптоту функцій, параметр a 1 визначає швидкість (або інтенсивність) розвитку, параметр a 2 - зміна швидкості (або інтенсивності) розвитку.
Параметри більшості кривих зростання, як правило, оцінюються за методом найменших квадратів, тобто підбираються таким чином, щоб графік функції кривої зростання розташовувався на мінімальному видаленні від точок вихідних даних. Згідно МНК при оцінки параметрів моделі всім спостереженнями присвоюються рівні ваги, тобто їх інформаційна цінність визнається рівною, а тенденція розвитку на всій ділянці спостережень - незмінною.
Перевагу, як правило, віддається простим моделям, що допускають змістовну інтерпретацію. До числа таких моделей відноситься лінійна модель зростання
y t=a 0 + a 1 t,
де a0 і a1 - параметри моделі, а t =.
Математично критерій оцінки параметрів моделі записується у вигляді
.
Для знаходження мінімуму функції двох змінних Q (a0; a1) слід взяти приватні похідні по a0 і a1, а потім прирівняти їх до нуля. В результаті отримаємо так звану систему нормальних рівнянь
Вирішуючи систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими, отримаємо
де і - середні значення моментів спостереження і рівнів ряду відповідно.
2.3 Оцінка якості моделей
2.3.1 Перевірка адекватності моделі
Перевірка адекватності моделі реальному явищу - важливий етап прогнозування економічних процесів. Для цього досліджують ряд залишків et=yt -? t, тобто розбіжності рівнів, розрахованих за моделлю, і фактичних спостережень. Найбільш важливими властивостями залишкової компоненти є рівності математичного сподівання нулю, незалежність послідовних рівнів ряду залишків, їх випадковість і відповідність нормальному закону розподілу.
1. Перевірка рівності математичного очікування рівнів ряду залишків нулю здійснюється в ході перевірки відповідної нульової гіпотези H0: | |=0. З цією метою будується t-статистика:
,
де - середнє арифметичне значення рівнів ряду залишків et;
- середньоквадратичне відхилення для цієї послідовності, розраховане за формулою з малою вибіркою.
На рівні значимості? гіпотеза відхиляється, якщо tрасч tтабл (?, y), де tтабл (?, y) - критерій розподілу Ст'юдента з довірчою ймовірністю (1 -?) та ступенями свобо...
