ного продовження, вона може бути визначена для s менше або рівних 1. Отже, ми можемо отримати значення регуляризоване дзета-функції ? (? 1) =? 1/12.
Існує кілька способів довести, що ? (? 1) =? 1/12 .. Один з методів використовує зв'язок між дзета-функцією Рімана і ця-функцій Дирихле <http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%AD%D1%82%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B5%D0%B9_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5&action=edit&redlink=1> ? ( s ). Ця-функція виражається знакозмінним поруч Дирихле, узгоджуючи тим самим з раніше представленими евристичними передумовами. Тоді як обидва ряди Діріхле сходяться, наступні тотожності вірні:
Тотожність залишається справедливим, якщо ми продовжимо обидві функції аналітично в область значень s , де вищенаписане ряди розходяться. Підставляючи s =? 1, отримаємо? 3 ? (? 1)=? (? 1). Відзначимо, що обчислення ? (? 1) є більш простим завданням, оскільки значення ця-функції виражається значенням суми Абеля відповідного ряду і являє собою односторонній межа:
Поділивши обидві частини виразу на? 3, отримуємо ? (? 1) =? 1/12.
У своєму другому листі до Х. Г. Харді, датованому 27 лютого 1913, Рамануджан пише:
«Шановний Сер, я з великим задоволенням прочитав ваш лист від 8го лютого 1913. Я очікував, що ви відповісте мені в тому ж стилі, що і професор математики з Лондона, який порадив мені уважно вивчити" Нескінченні ряди Томаса Бромвіча і не потрапляти в пастку, яку приховують розбіжні ряди. ... Я відповів йому, що, згідно з моєю теорією, сума нескінченного числа членів ряду: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · =? 1/12. Дізнавшись це, ви цю ж хвилину вкажіть у напрямку психіатричної лікарні. Запевняю, ви не зможете простежити нитку міркувань в моєму доказі цього факту, якщо я спробую викласти їх в єдиному листі. ... »
Лінійний і стійкий метод підсумовування не в змозі присвоїти кінцеве значення ряду 1 + 2 + 3 + .... (Стійкий означає, що додавання члена в початок ряду збільшує суму ряду на величину даного члена.) Дане твердження може бути продемонстровано такий спосіб. Якщо 1 +2 +3 + ...= x тоді, додаючи 0 до обох частин, отримуємо: 0 +1 +2 + ...=0 + x = x виходячи з властивості стійкості. Віднімаючи нижній ряд з верхнього, отримуємо: 1 +1 +1 + ...= x - x =0 виходячи з властивості лінійності.
Додаючи 0 до обох частин повторно, отримуємо 0 +1 +1 +1 + ...=0 і віднімаючи два останніх ряди приходимо до 1 +0 +0 + ...=0, що суперечить властивості стійкості.
Висновок
У даній роботі розглянуті методи підсумовування розбіжних рядів, теореми, що випливають з цих методів, а також взаємозв'язок цих методів між собою. Відображено різноманіття підходів до питання підсумовування розбіжних рядів. Регулярність кожного методу устанавліваеми у всіх випадках. Теорія рядів є важливим і широко використовуваним розділом математичного аналізу, або іншими словами нескінченні ряди є найважливішим знаряддям дослідження в математичному аналізі і його додатках. Сучасні уявлення про складні розбіжних рядах знаходять активне застосування в квантової механіки і квантової теорії поля.
Використана література
