ряд Діріхле (ряд), де.
Ейлер намагався знайти значення даних функцій і для непарних цілих чисел (зокрема, дзета-функція Рімана від 3 - так звана «постійна АПЕР»). Але, варто зазначити, що багато значення для дзета-функції непарних цілих числі не визначено досі і їх пошук є відкритою проблемою . Однак, робота методами Ейлера з ця-функцією значно простіше, оскільки становить її ряди Діріхле можуть бути сумовною за Абелю, ряди Діріхле ж для функції Рімана вимагають більш сильних методів підсумовування. Зокрема, ряд Ейлера в дзета-функції має відповідний знакопостоянного ряд 1 +2 +3 +4 +5 ... який часто використовується в сучасній фізиці і про який піде мова далі.
знакопостоянного ряд натуральних чисел
Серед класичних розбіжних рядів, ряд 1 + 2 + 3 + 4 + · · · виявляється відносно складним при спробі приписати йому деяке кінцеве числове значення. Існує безліч методів підсумовування, деякі з яких є більш стійкими і потужними. У відмінності від згаданих вище рядів, як підсумовування по Чезаро, так і метод Абеля не застосовні до ряду 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·. Ці методи працюють тільки зі сходяться і осцілірующімі рядами, і не можуть бути використані для ряду, який розходиться до +?. Більшість елементарних визначень суми розбіжного ряду є лінійними і стійкими, а будь лінійний і стійкий метод не може присвоїти 1 + 2 + 3 + ... кінцеве значення. Отже, потрібні більш розвинені методи, такі як регуляризація дзета-функцією або підсумовування Рамануджана . У восьмому розділі своєї збірки праць Рамануджан викладав два способи знаходження значення суми даного ряду, більш простий з даних методів:
Ряд був розглянутий вище, Рамануджан ж у своїх спостереженнях зазначав, що даний ряд є розкладанням в степеневий ряд функції при x=1, і тому так само знаходив суму ряду рівний?.
Строго кажучи, існує неоднозначність при роботі з нескінченними рядами, використовуючи методи, призначені для кінцевих сум як ті, що були використані вище. Особливо, якщо ці нескінченні ряди розходяться. Неоднозначність полягає в тому, що якщо вставити нуль в будь-яке місце в розходиться ряді, існує ймовірність отримати суперечливий результат. Наприклад, дія 4 c =0 +4 +0 +8 + · · · суперечить властивостям складання.
Одним із способів обійти дану невизначеність і, тим самим, обмежити позиції, куди можна вставити нуль, є присвоєння кожному члену ряду значення деякої функції. Для ряду 1 +2 +3 +4 + · · ·, кожен член n представляє собою натуральне число, яке може бути представлене у вигляді функції n ? S , де s деяка комплексна змінна. Використовуючи дане подання можна гарантувати, що всі члени ряду послідовні. Таким чином, привласнивши s значення? 1, аналізований ряд може бути виражений у суворій вигляді. Реалізація даного способу називається регуляризація дзета-функцією.
У цьому методі, ряд замінюється поруч. Останній ряд є окремим випадком ряду Діріхле. Якщо реальна частина s більше 1, ряд Діріхле сходиться, і його сума являє собою дзета-функцію Рімана ? ( s ). З іншого боку, якщо реальна частина s менше або дорівнює 1, ряд Діріхле розходиться. Зокрема, ряд 1 +2 +3 +4 + · · ·, який виходить підстановкою s =? 1, не є збіжним. Переваги переходу до дзета-функції Рімана полягає в тому, що, використовуючи метод аналітич...
